Encontre a inversa das seguintes matrizes:
A=\left(\begin{array}{ll}7 & 5 \\\\ 2 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O problema dá a matriz
A=\begin{pmatrix}7 & 5 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}
e pede para encontrar a inversa de A, isto é, a matriz A^{-1} tal que
A A^{-1}=A^{-1}A=I,
onde I é a matriz identidade 2\times2.]

Passo 2

Primeira coisa importante: uma matriz quadrada só tem inversa se seu determinante for diferente de zero. Para uma matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(A)=ad-bc.
Aqui identifique os coeficientes: a=7, b=5, c=2, d=4. Então calcule o determinante:
\det(A)=7\cdot4-5\cdot2=28-10=18.
Como \det(A)=18\neq0, a inversa existe. Respira aliviado — dá pra inverter!]

Passo 3

Para uma matriz 2\times2 existe uma fórmula direta para a inversa:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Essa fórmula troca a e d, troca o sinal de b e c, e divide tudo pelo determinante. Substituindo os valores:
A^{-1}=\frac{1}{18}\begin{pmatrix}4 & -5 \\[4pt] -2 & 7\end{pmatrix}.
Agora simplificamos cada entrada dividindo por 18:
A^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{4}{18} & -\tfrac{5}{18} \\[4pt] -\tfrac{2}{18} & \tfrac{7}{18}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{2}{9} & -\tfrac{5}{18} \\[4pt] -\tfrac{1}{9} & \tfrac{7}{18}\end{pmatrix}.]

Passo 4

É bom verificar que a matriz encontrada realmente é a inversa: calcule A\cdot A^{-1} e veja se sai a identidade. Faça as multiplicações entrada a entrada:
Entrada (1,1):
7\cdot\tfrac{2}{9}+5\cdot\bigl(-\tfrac{1}{9}\bigr)=\tfrac{14}{9}-\tfrac{5}{9}=\tfrac{9}{9}=1.
Entrada (1,2):
7\cdot\bigl(-\tfrac{5}{18}\bigr)+5\cdot\tfrac{7}{18}=-\tfrac{35}{18}+\tfrac{35}{18}=0.
Entrada (2,1):
2\cdot\tfrac{2}{9}+4\cdot\bigl(-\tfrac{1}{9}\bigr)=\tfrac{4}{9}-\tfrac{4}{9}=0.
Entrada (2,2):
2\cdot\bigl(-\tfrac{5}{18}\bigr)+4\cdot\tfrac{7}{18}=-\tfrac{10}{18}+\tfrac{28}{18}=\tfrac{18}{18}=1.
O produto é de fato a matriz identidade I_2. A verificação confirma que a inversa está correta — bacana!

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{2}{9} & -\tfrac{5}{18} \\[4pt] -\tfrac{1}{9} & \tfrac{7}{18}\end{pmatrix}]

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