e pede para encontrar N^{-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz é 3\times3.
Os elementos são N_{11}=1, N_{12}=1, N_{13}=0, N_{21}=1, N_{22}=0, N_{23}=1, N_{31}=0, N_{32}=1, N_{33}=1.
O objetivo é calcular a matriz inversa N^{-1} (se ela existir).]
Passo 2
Primeiro passo prático: verificar se N é invertível calculando o determinante. Se \det(N)\neq0, a inversa existe. Para uma matriz 3\times3 usa-se a regra de Sarrus ou expansão por cofatores; aqui faço expansão pela primeira linha para ser didático.
Breve explicação conceitual: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero; o determinante não nulo significa que as linhas (ou colunas) são linearmente independentes.]
Passo 3
Método escolhido: usar a fórmula
N^{-1}=\frac{1}{\det(N)}\operatorname{adj}(N),
onde \operatorname{adj}(N) é a matriz adjunta (ou adjugada), isto é, a transposta da matriz de cofatores. Vou calcular a matriz dos cofatores explicitando cada menor (determinante 2\times2) e o sinal associado (o sinal do cofator (-1)^{i+j}). Isso é direto para 3\times3 e deixa tudo exato (sem aproximações).
Explicação rápida: cada entrada do adjugado é dividida por \det(N)=-2, por isso aparecem as frações \pm\tfrac{1}{2}.]
Passo 9
Verificação (ideal na prova): multiplicar N por N^{-1} e confirmar que dá a matriz identidade I_3. Faço uma checagem rápida de produto por colunas (apenas um exemplo de checagem):
Primeira linha de N vezes primeira coluna de N^{-1}:
Fazendo as multiplicações restantes (mesma lógica) obtém-se todas as entradas da identidade I_3, então a inversa está correta. (Na prova recomendo verificar algumas entradas chave como essas para ganhar confiança.)