Encontre a inversa das seguintes matrizes:
N=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
N=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
e pede para encontrar N^{-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz é 3\times3.
  • Os elementos são N_{11}=1, N_{12}=1, N_{13}=0, N_{21}=1, N_{22}=0, N_{23}=1, N_{31}=0, N_{32}=1, N_{33}=1.
  • O objetivo é calcular a matriz inversa N^{-1} (se ela existir).]

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar se N é invertível calculando o determinante. Se \det(N)\neq0, a inversa existe. Para uma matriz 3\times3 usa-se a regra de Sarrus ou expansão por cofatores; aqui faço expansão pela primeira linha para ser didático.
A fórmula (expansão pela primeira linha) é
\det(N)=N_{11}\det\begin{pmatrix}N_{22} & N_{23}\\[4pt] N_{32} & N_{33}\end{pmatrix} - N_{12}\det\begin{pmatrix}N_{21} & N_{23}\\[4pt] N_{31} & N_{33}\end{pmatrix} + N_{13}\det\begin{pmatrix}N_{21} & N_{22}\\[4pt] N_{31} & N_{32}\end{pmatrix}.
Substituindo os valores:
\det(N)=1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} +0\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Calcule as determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot1=-1, \qquad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1.
Logo
\det(N)=1\cdot(-1)-1\cdot(1)+0\cdot(\cdots)=-1-1=-2.
Como \det(N)=-2\neq0, a matriz N é invertível.
Breve explicação conceitual: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero; o determinante não nulo significa que as linhas (ou colunas) são linearmente independentes.]

Passo 3

Método escolhido: usar a fórmula
N^{-1}=\frac{1}{\det(N)}\operatorname{adj}(N),
onde \operatorname{adj}(N) é a matriz adjunta (ou adjugada), isto é, a transposta da matriz de cofatores. Vou calcular a matriz dos cofatores explicitando cada menor (determinante 2\times2) e o sinal associado (o sinal do cofator (-1)^{i+j}). Isso é direto para 3\times3 e deixa tudo exato (sem aproximações).
Padrão de sinais dos cofatores (para lembrar):
\begin{pmatrix} + & - & +\\[4pt] - & + & -\\[4pt] + & - & + \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular os cofatores da primeira linha:
  • Menor para C_{11} (remover linha 1 e coluna 1):
M_{11}=\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=-1,
sinal +, então
C_{11}=+M_{11}=-1.
  • Menor para C_{12} (remover linha 1 e coluna 2):
M_{12}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=1,
sinal -, então
C_{12}=-M_{12}=-1.
  • Menor para C_{13} (remover linha 1 e coluna 3):
M_{13}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=1,
sinal +, então
C_{13}=+M_{13}=1.]

Passo 5

Calcular os cofatores da segunda linha:
  • Menor para C_{21} (remover linha 2 e coluna 1):
M_{21}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot1=1,
sinal -, então
C_{21}=-M_{21}=-1.
  • Menor para C_{22} (remover linha 2 e coluna 2):
M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=1,
sinal +, então
C_{22}=+1.
  • Menor para C_{23} (remover linha 2 e coluna 3):
M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=1,
sinal -, então
C_{23}=-1.]

Passo 6

Calcular os cofatores da terceira linha:
  • Menor para C_{31} (remover linha 3 e coluna 1):
M_{31}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=1,
sinal +, então
C_{31}=+1.
  • Menor para C_{32} (remover linha 3 e coluna 2):
M_{32}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=1,
sinal -, então
C_{32}=-1.
  • Menor para C_{33} (remover linha 3 e coluna 3):
M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-1\cdot1=-1,
sinal +, então
C_{33}=-1.]

Passo 7

Formar a matriz dos cofatores C=(C_{ij}):
C=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
A adjugade é a transposta: \operatorname{adj}(N)=C^{T}. Neste caso C é simétrica (verificando elementos), então
\operatorname{adj}(N)=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Aplicar a fórmula N^{-1}=\dfrac{1}{\det(N)}\operatorname{adj}(N) com \det(N)=-2:
N^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} = -\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Multiplicando cada entrada por -\tfrac{1}{2} obtemos
N^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Explicação rápida: cada entrada do adjugado é dividida por \det(N)=-2, por isso aparecem as frações \pm\tfrac{1}{2}.]

Passo 9

Verificação (ideal na prova): multiplicar N por N^{-1} e confirmar que dá a matriz identidade I_3. Faço uma checagem rápida de produto por colunas (apenas um exemplo de checagem):
  • Primeira linha de N vezes primeira coluna de N^{-1}:
(1,1,0)\cdot\bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+0=1.
  • Primeira linha de N vezes segunda coluna de N^{-1}:
(1,1,0)\cdot\bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}+0=0.
Fazendo as multiplicações restantes (mesma lógica) obtém-se todas as entradas da identidade I_3, então a inversa está correta. (Na prova recomendo verificar algumas entradas chave como essas para ganhar confiança.)

Resposta

N^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados