Use determinantes e a matriz adjunta para encontrar a inversa das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{ll}7 & 3 \\\\ 2 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede para encontrar a inversa da matriz usando determinantes e a matriz adjunta.
  • A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}7 & 3 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
  • Vou chamar as entradas de A por a=7, b=3, c=2, d=2 — isto deixa as fórmulas mais claras.]

Passo 2

Determinante de uma matriz 2\times2 e por que é importante:
  • Para a matriz
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é definido por
\det(A)=ad-bc.
  • O determinante diz se a matriz é invertível: se \det(A)\neq0, a inversa existe; se \det(A)=0, não existe inversa.
  • Aplicando aos valores que temos:
\det(A)=7\cdot 2 - 3\cdot 2.
  • Calcule passo a passo:
7\cdot 2 = 14,\qquad 3\cdot 2 = 6,
\det(A)=14-6=8.
  • Como \det(A)=8\neq0, a matriz é invertível e podemos continuar.]

Passo 3

Definição de matriz adjunta (adjugate) via cofactores e como montar no caso 2\times2:
  • Em geral, o cofactor C_{ij} é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor (determinante da submatriz obtida removendo a linha i e coluna j).
  • Para 2\times2 os menores são simplesmente os elementos restantes:
    • M_{11}=d, M_{12}=c, M_{21}=b, M_{22}=a.
  • Os cofatores ficam:
C_{11}=+d,\quad C_{12}=-c,\quad C_{21}=-b,\quad C_{22}=+a.
  • A matriz de cofatores é
\begin{pmatrix}d & -c \\[4pt] -b & a\end{pmatrix}.
  • A adjunta (ou adjugate), \operatorname{adj}(A), é a transposta dessa matriz de cofatores, portanto para 2\times2 há um atalho clássico:
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
  • Substituindo nossos valores a=7, b=3, c=2, d=2, obtemos a adjunta:
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] -2 & 7\end{pmatrix}.]

Passo 4

Fórmula da inversa usando determinante e adjunta e cálculo das entradas:
  • A fórmula geral é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
  • Já calculamos \det(A)=8 e \operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] -2 & 7\end{pmatrix}.
  • Multiplicando escalarmente cada entrada por 1/8, calculamos cada entrada da inversa:
\text{entrada }(1,1):\\ \frac{1}{8}\cdot 2 = \frac{2}{8}=\frac{1}{4},
\text{entrada }(1,2):\\ \frac{1}{8}\cdot(-3)= -\frac{3}{8},
\text{entrada }(2,1):\\ \frac{1}{8}\cdot(-2)= -\frac{2}{8}= -\frac{1}{4},
\text{entrada }(2,2):\\ \frac{1}{8}\cdot 7 = \frac{7}{8}.]

Passo 5

Verificação rápida (mostra que os cálculos estão corretos):
  • Para verificar, multiplicar A pela matriz com as entradas calculadas deve dar a identidade I_2.
  • Calcule o produto A\cdot A^{-1} por entradas (mostrando uma entrada como exemplo):
    • Entrada (1,1): 7\cdot\frac{1}{4} + 3\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{7}{4}-\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1.
    • Entrada (1,2): 7\cdot\left(-\frac{3}{8}\right)+3\cdot\frac{7}{8}=-\frac{21}{8}+\frac{21}{8}=0.
    • Entrada (2,1): 2\cdot\frac{1}{4}+2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{2}{4}-\frac{2}{4}=0.
    • Entrada (2,2): 2\cdot\left(-\frac{3}{8}\right)+2\cdot\frac{7}{8}=-\frac{6}{8}+\frac{14}{8}=\frac{8}{8}=1.
  • Como o produto dá
\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
a inversa encontrada está correta.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{4} & -\dfrac{3}{8} \\[6pt] -\dfrac{1}{4} & \dfrac{7}{8}\end{pmatrix}]

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