Use determinantes e a matriz adjunta para encontrar a inversa das matrizes abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Pede para encontrar a inversa da matriz usando determinantes e a matriz adjunta.
- A matriz dada é
- Vou chamar as entradas de
por , , , — isto deixa as fórmulas mais claras.]
Passo 2
Determinante de uma matriz
e por que é importante:
- Para a matriz
o determinante é definido por
- O determinante diz se a matriz é invertível: se
, a inversa existe; se , não existe inversa. - Aplicando aos valores que temos:
- Calcule passo a passo:
- Como
, a matriz é invertível e podemos continuar.]
Passo 3
Definição de matriz adjunta (adjugate) via cofactores e como montar no caso
:
- Em geral, o cofactor
é , onde é o menor (determinante da submatriz obtida removendo a linha e coluna ). - Para
os menores são simplesmente os elementos restantes:-
, , , .
-
- Os cofatores ficam:
- A matriz de cofatores é
- A adjunta (ou adjugate),
, é a transposta dessa matriz de cofatores, portanto para há um atalho clássico:
- Substituindo nossos valores
, , , , obtemos a adjunta:
Passo 4
Fórmula da inversa usando determinante e adjunta e cálculo das entradas:
- A fórmula geral é
- Já calculamos
e . - Multiplicando escalarmente cada entrada por
, calculamos cada entrada da inversa:
Passo 5
Verificação rápida (mostra que os cálculos estão corretos):
- Para verificar, multiplicar
pela matriz com as entradas calculadas deve dar a identidade . - Calcule o produto
por entradas (mostrando uma entrada como exemplo):- Entrada
: - Entrada
: - Entrada
: - Entrada
:
- Entrada
- Como o produto dá
a inversa encontrada está correta.]