Use determinantes e a matriz adjunta para encontrar a inversa das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 5 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada 2\times2 e pede para encontrar a inversa usando determinantes e a matriz adjunta. As informações fornecidas são:
A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 5 & 0\end{pmatrix}.
A tarefa é calcular A^{-1} usando a definição que envolve o determinante de A e a matriz adjunta (adjugate) de A.]

Passo 2

Entender o determinante para uma matriz 2\times2. Para
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é
\det(A)=ad-bc.
Aqui identificamos a=2, b=1, c=5 e d=0. Então
\det(A)=2\cdot 0 - 1\cdot 5 = -5.
Comentário didático: o determinante mede se a matriz é invertível. Se \det(A)=0 não existe inversa; como \det(A)=-5\neq 0, a inversa existe.]

Passo 3

Calcular a matriz de menores e cofatores (explicando o conceito). Para cada entrada (i,j) da matriz, o menor M_{ij} é o determinante da matriz que sobra ao riscar a linha i e a coluna j. O cofator é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Para matriz 2\times2 isso fica simples:
  • M_{11}=d=0, então C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+0=0.
  • M_{12}=c=5, então C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-5.
  • M_{21}=b=1, então C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1.
  • M_{22}=a=2, então C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+2.
A matriz de cofatores C é
C=\begin{pmatrix}0 & -5 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Formar a matriz adjunta (adjugate). A adjunta \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix}.
Comentário prático: para 2\times2 há uma regra rápida — trocar a e d, e trocar de sinal b e c — que produz a mesma adjunta.]

Passo 5

Usar a fórmula da inversa via adjunta. Para matriz invertível vale
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Substituindo \det(A)=-5 e a adjunta encontrada:
A^{-1}=\frac{1}{-5}\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Multiplicar o escalar \dfrac{1}{-5} em cada entrada (faça mentalmente ou no papel; aqui mostro passo a passo):
  • Entrada (1,1): \dfrac{1}{-5}\cdot 0 = 0.
  • Entrada (1,2): \dfrac{1}{-5}\cdot (-1)=\dfrac{1}{5}.
  • Entrada (2,1): \dfrac{1}{-5}\cdot (-5)=1.
  • Entrada (2,2): \dfrac{1}{-5}\cdot 2 = -\dfrac{2}{5}.
Portanto
A^{-1}=\begin{pmatrix}0 & \dfrac{1}{5} \\[6pt] 1 & -\dfrac{2}{5}\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}0 & \dfrac{1}{5} \\[6pt] 1 & -\dfrac{2}{5}\end{pmatrix}]

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