Questão 30 (IME - 2023). Considere as matrizes A=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\\\ 1 & 5\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}3 & 6 \\\\ 2 & 1\end{array}\right). Seja X^{t} a transposta da matriz X. Sabendo que X^{t} A^{-1}=B, então encontre X^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 1 & 5\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}3 & 6 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix},
e a relação \,X^{t}A^{-1}=B. A pergunta é: encontrar X^{-1}.]

Passo 2

Isolar X^{t} na equação dada. Como a igualdade matricial permite multiplicar ambos os lados pela mesma matriz à direita, multiplicamos por A à direita em ambos os lados. Assim
X^{t}A^{-1}=B \quad\Rightarrow\quad X^{t}A^{-1}A=BA \quad\Rightarrow\quad X^{t}=BA.
Observação didática: multiplicar por A à direita é permitido porque a expressão já contém A^{-1}; isso “cancela” A^{-1} com A. A equação original pressupõe que A é invertível, então essa operação é válida.

Passo 3

Obter X a partir de X^{t}. Tomando transposta dos dois lados da igualdade X^{t}=BA obtemos
X=(BA)^{t}.
Propriedade usada (explicação didática): a transposta de um produto fixa a ordem inversa dos fatores, isto é, (MN)^{t}=N^{t}M^{t} para quaisquer matrizes compatíveis. Portanto
X=(BA)^{t}=A^{t}B^{t}.

Passo 4

Calcular explicitamente o produto BA. Faço as multiplicações linha×coluna passo a passo.
Primeira linha de B vezes colunas de A:
(3,6)\cdot\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}=3\cdot2+6\cdot1=6+6=12,
(3,6)\cdot\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\end{pmatrix}=3\cdot3+6\cdot5=9+30=39.
Segunda linha de B vezes colunas de A:
(2,1)\cdot\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}=2\cdot2+1\cdot1=4+1=5,
(2,1)\cdot\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\end{pmatrix}=2\cdot3+1\cdot5=6+5=11.
Portanto
BA=\begin{pmatrix}12 & 39 \\[4pt] 5 & 11\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como X^{t}=BA, temos X=(BA)^{t}. Transpondo a matriz encontrada:
X=\begin{pmatrix}12 & 5 \\[4pt] 39 & 11\end{pmatrix}.]

Passo 6

Para encontrar X^{-1} uso a fórmula do inverso de matriz 2\times2. Explicação didática da fórmula: para uma matriz
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
o determinante é \det(M)=ad-bc. Se \det(M)\neq0, então
M^{-1}=\dfrac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Essa fórmula vem de resolver o sistema linear que define a inversa ou aplicando adjunta dividida pelo determinante.
Aplique isso a X. Aqui a=12, b=5, c=39, d=11. Calculo do determinante:
\det(X)=12\cdot11-5\cdot39=132-195=-63.
Como \det(X)=-63\neq0, X é invertível.]

Passo 7

Calcular X^{-1} usando a fórmula. Substituindo:
X^{-1}=\dfrac{1}{-63}\begin{pmatrix}11 & -5 \\[4pt] -39 & 12\end{pmatrix}.
Distribuindo o fator 1/(-63) e simplificando frações quando possível:
X^{-1}=\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{63} & \dfrac{5}{63} \\[6pt] \dfrac{39}{63} & -\dfrac{12}{63}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{63} & \dfrac{5}{63} \\[6pt] \dfrac{13}{21} & -\dfrac{4}{21}\end{pmatrix}.]

Resposta

X^{-1}=\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{63} & \dfrac{5}{63} \\[6pt] \dfrac{13}{21} & -\dfrac{4}{21}\end{pmatrix}]

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