Questão 29(\mathrm{URCA} / 2021.2). Sejam M uma matriz e \bar{M} sua adjunta. Se M=\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\\\ -3 & 5\end{array}\right), calcule o determinante de M \bar{M}.
Passo 1
O enunciado dá a matriz M e diz que \bar{M} é a adjunta (adjugate) de M. Pede-se para calcular o determinante de M\bar{M}.
Isso é fácil de memorizar: troca-se a e d e troca-se o sinal de b e c, depois transpõe (no caso 2\times2 a transposição dá exatamente essa forma).
Propriedade chave (muito usada em provas): para qualquer matriz quadrada A de ordem n vale
A\bar{A}=\det(A)\,I_n,
onde I_n é a matriz identidade n\times n. Intuição rápida: a adjunta foi construída exatamente para que a multiplicação com A resulte em um múltiplo escalar da identidade (essa propriedade vem da expansão por cofatores).
Propriedade dos determinantes que vamos usar depois: