Questão 29(\mathrm{URCA} / 2021.2). Sejam M uma matriz e \bar{M} sua adjunta. Se M=\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\\\ -3 & 5\end{array}\right), calcule o determinante de M \bar{M}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz M e diz que \bar{M} é a adjunta (adjugate) de M. Pede-se para calcular o determinante de M\bar{M}.
Informações fornecidas:
  • M=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] -3 & 5\end{pmatrix}.
  • \bar{M} é a adjunta de M.
  • Pedido: calcular \det\!\bigl(M\bar{M}\bigr).]

Passo 2

Lembrando definições e propriedades úteis (explicadas de forma prática):
  • Para uma matriz quadrada A de ordem n, a adjunta \bar{A} é a transposta da matriz dos cofatores de A. Para uma 2\times2 matriz
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
a adjunta é
\bar{A}=\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Isso é fácil de memorizar: troca-se a e d e troca-se o sinal de b e c, depois transpõe (no caso 2\times2 a transposição dá exatamente essa forma).
  • Propriedade chave (muito usada em provas): para qualquer matriz quadrada A de ordem n vale
A\bar{A}=\det(A)\,I_n,
onde I_n é a matriz identidade n\times n. Intuição rápida: a adjunta foi construída exatamente para que a multiplicação com A resulte em um múltiplo escalar da identidade (essa propriedade vem da expansão por cofatores).
  • Propriedade dos determinantes que vamos usar depois:
\det(AB)=\det(A)\det(B) \qquad\text{e}\qquad \det\bigl(cI_n\bigr)=c^{n}
para escalar c.]

Passo 3

Calcular \det(M) diretamente (fórmula 2\times2):
\det(M)=(-1)\cdot 5 - 2\cdot(-3).
Agora a conta passo a passo:
(-1)\cdot 5 = -5, \qquad 2\cdot(-3) = -6,
portanto
\det(M) = -5 - (-6) = -5 + 6 = 1.

Passo 4

Aplicando a propriedade de adjunta do Passo 2 com n=2:
M\bar{M}=\det(M)\,I_2.
Substituindo \det(M)=1 obtida no Passo 3:
M\bar{M}=1\cdot I_2 = I_2.
(Se quiser conferir na prática, pode-se calcular \bar{M} usando a fórmula do Passo 2:
\bar{M}=\begin{pmatrix}5 & -2\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix},
e multiplicar M\bar{M} para ver que dá I_2.)]

Passo 5

Agora usamos a propriedade do determinante de um produto ou, mais direto, a do escalar vezes identidade:
\det\!\bigl(M\bar{M}\bigr)=\det\!\bigl(\det(M)\,I_2\bigr)=\bigl(\det(M)\bigr)^{2}.
Como \det(M)=1, segue que
\det\!\bigl(M\bar{M}\bigr)=1^{2}=1.

Resposta

1

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