Encontre as inversas (por qualquer método) de
A=[llll 0 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 3 & 0 0 & 4 & 0 & 0 5 & 0 & 0 & 0 ], B=[llll 3 & 2 & 0 & 0 4 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 6 & 5 0 & 0 & 7 & 6 ]

Passo 1

O enunciado pede as inversas de duas matrizes 4times4:
A= 0 & 0 & 0 & 2 [6pt] 0 & 0 & 3 & 0 [6pt] 0 & 4 & 0 & 0 [6pt] 5 & 0 & 0 & 0 , B= 3 & 2 & 0 & 0 [4pt] 4 & 3 & 0 & 0 [4pt] 0 & 0 & 6 & 5 [4pt] 0 & 0 & 7 & 6
Para A vamos usar a ideia de decompor como produto de uma diagonal por uma matriz de permutação; para B notamos que é bloco-diagonal com dois blocos 2times2.]

Passo 2

Observamos que A tem entradas só na antidiagonal, isto é, Ai,jneq0 só se i+j=5. Defina a matriz de permutação P com Pi,j=1 se i+j=5 e zero caso contrário, e a diagonal
D=diag(2,3,4,5),
Percebe-se que
A = D,P

Passo 3

Como P é involutória ( P^-1=P) e D é invertível, obtemos
A^-1 = P^-1,D^-1 = P,D^-1,
onde
D^-1=diagl(tfrac12,tfrac13,tfrac14,tfrac15r)
Logo A^-1i,j = tfrac1dj se i+j=5, senão zero.

Passo 4

Escrevendo A^-1 em forma explícita,
A^-1= 0 & 0 & 0 & tfrac15 [4pt] 0 & 0 & tfrac14 & 0 [4pt] 0 & tfrac13 & 0 & 0 [4pt] tfrac12 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 5

Para B notamos que ela é bloco-diagonal,
B= C & 0 [4pt] 0 & D ,
com
C=3&24&3, D=6&57&6
Logo
B^-1= C^-1&0 [4pt] 0&D^-1 ]

Passo 6

Calculamos det C=3cdot3-2cdot4=1, então
C^-1=3&-2-4&3
E det D=6cdot6-5cdot7=1, logo
D^-1=6&-5-7&6
Assim
B^-1= 3 & -2 & 0 & 0 [4pt] -4 & 3 & 0 & 0 [4pt] 0 & 0 & 6 & -5 [4pt] 0 & 0 & -7 & 6 ]

Resposta

A^-1= 0 & 0 & 0 & tfrac15 [4pt] 0 & 0 & tfrac14 & 0 [4pt] 0 & tfrac13 & 0 & 0 [4pt] tfrac12 & 0 & 0 & 0 ,
\quad
B^-1= 3 & -2 & 0 & 0 [4pt] -4 & 3 & 0 & 0 [4pt] 0 & 0 & 6 & -5 [4pt] 0 & 0 & -7 & 6 .
]

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