Encontre matrizes singulares A e B tais que A+B seja invertível.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos duas matrizes A e B tais que cada uma seja singular (ou seja, tenha det=0) e que a soma A+B seja invertível (ou seja, tenha detneq0). Para simplificar, vamos trabalhar com matrizes 2times2.

Passo 2

Escolhemos uma matriz singular A. Por exemplo, se zerarmos uma linha ou uma coluna, o determinante vira zero. Uma escolha simples é
A = 1 & 0 0 & 0 ,
pois
det(A) = 1cdot 0 - 0cdot 0 = 0

Passo 3

Agora escolhemos outra matriz singular B que “complete” a identidade quando somada a A. Por exemplo,
B = 0 & 0 0 & 1
Aqui também
det(B) = 0cdot 1 - 0cdot 0 = 0

Passo 4

Vamos somar A e B:
A + B = 1 & 0 0 & 0 + 0 & 0 0 & 1 = 1 & 0 0 & 1 = I2
Como det(I2)=1neq0, a matriz A+B é invertível.

Resposta

A possibilidade mais simples é
A = 1 & 00 & 0, B = 0 & 00 & 1,
que são singulares, mas A+B=I2 é invertível.

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