Encontre matrizes invertíveis A e B tais que A+B não seja invertível.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar duas matrizes quadradas A e B que sejam invertíveis (isto é, tenham determinante diferente de zero) mas cuja soma A+B não seja invertível (ou seja, tenha determinante igual a zero). Vamos usar propriedades de determinante e um exemplo simples em dimensão 2.

Passo 2

Escolhemos como exemplo duas matrizes 2times 2:
A = I2 = 1 & 0[6pt] 0 & 1, B = -I2 = -1 & 0[6pt] 0 & -1 ]

Passo 3

Verificamos que cada uma é invertível:
det(A) = det(I2) = 1 neq 0, det(B) = det(-I2) = (-1)^2 = 1 neq 0

Passo 4

Agora calculamos a soma:
A + B = I2 + (-I2) = 1 & 0[3pt] 0 & 1 + -1 & 0[3pt] 0 & -1 = 0 & 0[3pt] 0 & 0
Essa é a matriz zero, cujo determinante é
det(A+B) = det(02times 2) = 0,
logo A+B não é invertível.]

Resposta

A = 1 & 00 & 1, B = -1 & 00 & -1

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