Encontre, nos itens abaixo, a famália de primitivas de cada função indicada. Justifique sua resposta à luz da teoria apresentada em sala de aula.
f(x)=arctg(x)

Passo 1

Vamos encontrar uma primitiva de f(x)=arctg(x). O conteúdo aqui é integração por partes, pois temos uma função composta (arctan) vezes 1.

Passo 2

Na integração por partes usamos a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Escolhemos

e

porque derivar arctan simplifica.

Passo 3

Agora calculamos:

e
.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral arctg(x),dx = x,arctg(x) - integral xcdot11+x^2,dx

Passo 5

Para calcular
integral x1+x^2,dx = 12 integral dtt = 12 lnl|tr| + C = 12 ln(1+x^2) + C
podemos usar a substituição

logo
.

Passo 6

Substituindo de volta, obtemos a família de primitivas:
F(x) = x,arctg(x) - 12ln(1+x^2) + C
Onde C é a constante de integração, garantindo que qualquer primitiva difira por uma constante.

Resposta

F(x) = x,\operatorname{arctg}(x) - \tfrac12\ln(1+x^2) + C

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