Encontre, nos itens abaixo, a famália de primitivas de cada função indicada. Justifique sua resposta à luz da teoria apresentada em sala de aula.
Passo 1
Vamos encontrar uma primitiva de
. O conteúdo aqui é integração por partes, pois temos uma função composta (arctan) vezes 1.
Passo 2
Na integração por partes usamos a fórmula
. Escolhemos
e
porque derivar arctan simplifica.
e
porque derivar arctan simplifica.
Passo 3
Agora calculamos:
e
.
e
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 5
Para calcular
podemos usar a substituição
logo
podemos usar a substituição
logo
Passo 6
Substituindo de volta, obtemos a família de primitivas:
Onde
C é a constante de integração, garantindo que qualquer primitiva difira por uma constante.
Resposta
F(x) = x,\operatorname{arctg}(x) - \tfrac12\ln(1+x^2) + C