A matriz A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & 4 & 6 \\\\ 0 & 3 & 8 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 9\end{array}\right) é invertível? Por quê?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 6 \\\\ 0 & 3 & 8 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}
e pergunta se ela é invertível. O conteúdo envolvido é o cálculo de determinante e o critério de invertibilidade, que diz que uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Vamos usar também a propriedade de matrizes triangulares, cujo determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Como A é uma matriz triangular superior, temos
\det(A) = 2 \cdot 3 \cdot 0 \cdot 9 = 0.
Portanto, \det(A)=0 e, pelo critério de invertibilidade (uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for não nulo), concluímos que A não é invertível.

Resposta

A matriz A não é invertível, pois \det(A)=0.

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