Para A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 2 & 1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 0 & 1\end{array}\right), mostre que (A B)^{T} é igual a B^{T} A^{T}, mas diferente de A^{T} B^{T}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix}
e
B = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
e pede para mostrar duas coisas:
  1. Que (AB)^{T} = B^{T}A^{T}.
  2. Que (AB)^{T} é diferente de A^{T}B^{T}.
    O conteúdo aqui é a propriedade da transposta de um produto de matrizes, que inverte a ordem.

Passo 2

Primeiro calculamos o produto AB. Usando a definição de multiplicação de matrizes:
AB = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 0\cdot0 & 1\cdot3 + 0\cdot1 \\[6pt] 2\cdot1 + 1\cdot0 & 2\cdot3 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 2 & 7\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora tomamos a transposta de AB:
(AB)^{T} = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 2 & 7\end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 7\end{pmatrix}.

Passo 4

Em seguida, calculamos as transpostas separadas de A e B:
A^{T} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad B^{T} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 3 & 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Multiplicamos B^{T}A^{T} e também A^{T}B^{T}:
B^{T}A^{T} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 0\cdot0 & 1\cdot2 + 0\cdot1 \\[6pt] 3\cdot1 + 1\cdot0 & 3\cdot2 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 7\end{pmatrix},
A^{T}B^{T} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot3 & 1\cdot0 + 2\cdot1 \\[6pt] 0\cdot1 + 1\cdot3 & 0\cdot0 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 & 2 \\\\ 3 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Comparando, vemos que
(AB)^{T} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 7\end{pmatrix} = B^{T}A^{T},
mas
A^{T}B^{T} = \begin{pmatrix}7 & 2 \\\\ 3 & 1\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 7\end{pmatrix}.

Resposta

(AB)^{T} = B^{T}A^{T}, porém (AB)^{T} \neq A^{T}B^{T}.

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