Encontre lim sup e lim inf para as seguintes sequências, e diga o que se pode concluir sobre as sequências
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular o
e o
da sequência
dada por
e dizer o que se pode concluir sobre a sequência (por exemplo: converge? para que valor?). As informações fornecidas são apenas a forma explícita de
em termos de funções trigonométricas avaliadas em múltiplos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
, de um jeito simples e útil para a prova.
Intuição:
-
é o maior valor-limite que a sequência pode “aproximar” quando olhamos para a cauda da sequência. Em outras palavras, olhando para os termos a partir de qualquer índice grande , pegamos o supremo desses termos; então fazemos . Formalmente:
-
é o menor valor-limite possível, definido por
Regra prática importante: se
, então a sequência converge e o limite é
. Vou usar essa propriedade depois que encontrarmos os dois valores.
Passo 3
Agora simplificamos a expressão trigonométrica. Existe uma identidade trigonométrica muito útil:
Explico rapidamente por que: a fórmula vem das identidades de soma para seno; uma forma direta é usar
, que é padrão em trigonometria. Nessa fórmula,
é qualquer número real; aqui vamos tomar
.
Passo 4
Aplicando a identidade com
obtemos:
Agora lembramos outra propriedade básica do seno: para todo inteiro
vale
, porque
é zero em múltiplos de
. Portanto
Ou seja, a sequência é identicamente nula: todos os termos são
.
(Se você preferir ver um exemplo concreto:
;
; e assim por diante — todos dão
.)
Passo 5
Como a sequência é constante igual a
, é fácil calcular
e
. Para todo
temos
e
. Então os limites desses termos quando
são
Pelo comentário do Passo 2 (se
então a sequência converge), concluímos que
converge e o seu limite é
.
Resposta
A sequência