Encontre lim sup e lim inf para as seguintes sequências, e diga o que se pode concluir sobre as sequências \left(x_{n}\right).
x_{n}=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{2}\right) \cos \left(\frac{n \pi}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular o \limsup e o \liminf da sequência \left(x_{n}\right) dada por
x_{n}=\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right),
e dizer o que se pode concluir sobre a sequência (por exemplo: converge? para que valor?). As informações fornecidas são apenas a forma explícita de x_{n} em termos de funções trigonométricas avaliadas em múltiplos de \frac{\pi}{2}.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são \limsup e \liminf, de um jeito simples e útil para a prova.
Intuição:
  • \limsup_{n\to\infty} x_n é o maior valor-limite que a sequência pode “aproximar” quando olhamos para a cauda da sequência. Em outras palavras, olhando para os termos a partir de qualquer índice grande n, pegamos o supremo desses termos; então fazemos n\to\infty. Formalmente:
\limsup_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} \left(\sup_{k\ge n} x_k\right).
  • \liminf_{n\to\infty} x_n é o menor valor-limite possível, definido por
\liminf_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} \left(\inf_{k\ge n} x_k\right).
Regra prática importante: se \limsup_{n\to\infty} x_n = \liminf_{n\to\infty} x_n = L, então a sequência converge e o limite é L. Vou usar essa propriedade depois que encontrarmos os dois valores.

Passo 3

Agora simplificamos a expressão trigonométrica. Existe uma identidade trigonométrica muito útil:
\operatorname{sen}(a)\cos(a)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2a).
Explico rapidamente por que: a fórmula vem das identidades de soma para seno; uma forma direta é usar \operatorname{sen}(2a)=2\operatorname{sen}(a)\cos(a), que é padrão em trigonometria. Nessa fórmula, a é qualquer número real; aqui vamos tomar a=\dfrac{n\pi}{2}.

Passo 4

Aplicando a identidade com a=\dfrac{n\pi}{2} obtemos:
x_{n}=\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}\!\left(2\cdot\frac{n\pi}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(n\pi).
Agora lembramos outra propriedade básica do seno: para todo inteiro n vale \operatorname{sen}(n\pi)=0, porque \sin é zero em múltiplos de \pi. Portanto
x_{n}=\tfrac{1}{2}\cdot 0 = 0\quad\text{para todo inteiro }n\ge 1.
Ou seja, a sequência é identicamente nula: todos os termos são 0.
(Se você preferir ver um exemplo concreto: n=1\Rightarrow x_1=\operatorname{sen}(\pi/2)\cos(\pi/2)=1\cdot 0=0; n=2\Rightarrow x_2=\operatorname{sen}(\pi)\cos(\pi)=0\cdot(-1)=0; e assim por diante — todos dão 0.)

Passo 5

Como a sequência é constante igual a 0, é fácil calcular \limsup e \liminf. Para todo n temos \sup_{k\ge n} x_k = 0 e \inf_{k\ge n} x_k = 0. Então os limites desses termos quando n\to\infty são
\limsup_{n\to\infty} x_n = 0,\qquad \liminf_{n\to\infty} x_n = 0.
Pelo comentário do Passo 2 (se \limsup=\liminf então a sequência converge), concluímos que \left(x_{n}\right) converge e o seu limite é 0.

Resposta

\limsup_{n\to\infty} x_n = 0
\liminf_{n\to\infty} x_n = 0
A sequência \left(x_n\right) converge e \lim_{n\to\infty} x_n = 0

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