Encontre lim sup e lim inf para as seguintes sequências, e diga o que se pode concluir sobre as sequências \left(x_{n}\right).
x_{n}=n^{2} \operatorname{sen}^{2}\left(\frac{n \pi}{2}\right)

Passo 1

O problema pede duas coisas claras:
  • Calcular \limsup\limits_{n\to\infty} x_n e \liminf\limits_{n\to\infty} x_n para a sequência
x_n = n^{2}\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).
  • Dizer o que se pode concluir sobre a sequência (x_n) (por exemplo: se converge, é limitada, etc.).
Informações dadas (explicitamente): a fórmula geral da sequência é \;x_n=n^{2}\operatorname{sen}^{2}\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big). Não há outras hipóteses ocultas.

Passo 2

Vamos estudar o comportamento de \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right) conforme n varia. A função \operatorname{sen} com argumento \tfrac{n\pi}{2} é periódica em n com período 4, porque
\operatorname{sen}\!\left(\frac{(n+4)\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{2}+2\pi\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).
Para identificar os valores, observe os quatro casos (usei a decomposição n=4k,4k+1,4k+2,4k+3):

Passo 3

Calculemos \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right) nos quatro resíduos de n módulo 4:
\begin{aligned} \text{Se } n=4k &: \operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}(2k\pi)=0,\\\ \text{Se } n=4k+1 &: \operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)=1,\\\ \text{Se } n=4k+2 &: \operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\big((2k+1)\pi\big)=0,\\\ \text{Se } n=4k+3 &: \operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right)=-1. \end{aligned}
Portanto \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right) toma os valores 0,1,0,-1 repetidamente.

Passo 4

Agora elevamos ao quadrado: \operatorname{sen}^{2}\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)\) anula o sinal negativo, ficando apenas \(0\) ou \(1\). Concretamente: \[\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)= \begin{cases} 0, & \text{se \(n é par (ou seja n=2m)},\[4pt] 1, & se n é ímpar (ou seja n=2m+1). \end{cases}]]

Passo 5

Substituindo em x_n\): \[x_n = \begin{cases} n^{2}\cdot 0 = 0, & \text{se \(n é par},\[4pt] n^{2}\cdot 1 = n^{2}, & se n é ímpar. \end{cases}]
Isso significa que a sequência é alternada: nos índices pares vale exatamente 0; nos índices ímpares vale 1^{2},3^{2},5^{2},\dots, ou seja, cresce como quadrado do índice impar.]

Passo 6

Estudemos subsequências para determinar \limsup e \liminf.
  • Subsequência dos termos pares: para n=2k temos x_{2k}=0 para todo k. Logo essa subsequência converge para 0. Portanto 0 é um valor limite (um acumulador) da sequência.
  • Subsequência dos termos ímpares: para n=2k+1 temos
x_{2k+1}=(2k+1)^{2}\xrightarrow[k\to\infty]{}+\infty.
Ou seja, existe uma subsequência que tende para +\infty.

Passo 7

Definições úteis (explicadas de forma prática):
  • \liminf_{n\to\infty} x_n é o maior número L tal que, a partir de algum ponto, quase todos os termos da sequência estão acima de L; equivalentemente, é o limite dos ínfimos das caudas \inf_{m\ge n} x_m quando n\to\infty.
  • \limsup_{n\to\infty} x_n é o menor número M tal que, a partir de algum ponto, quase todos os termos da sequência ficam abaixo de M; equivalentemente, é o limite dos supremos das caudas \sup_{m\ge n} x_m quando n\to\infty. Se existir uma subsequência que tende a +\infty, então \limsup é +\infty.
Aplicando ao nosso caso:
  • Como sempre existem termos iguais a 0 em toda cauda (os pares), temos \inf_{m\ge n} x_m = 0 para todo n. Portanto
\liminf_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} \inf_{m\ge n} x_m = 0.
  • Como existe a subsequência (x_{2k+1}) que tende para +\infty, para qualquer grande A>0 e qualquer N existe m\ge N com x_m>A. Assim \sup_{m\ge n} x_m tende a +\infty quando n\to\infty. Logo
\limsup_{n\to\infty} x_n = +\infty.

Passo 8

Conclusões finais sobre a sequência (x_n):
  • A sequência não converge (porque \liminf\neq\limsup; de fato \limsup=+\infty e \liminf=0).
  • A sequência é limitada inferiormente (por 0), mas não é limitada superiormente (é não limitada, diverge para infinito ao longo da subsequência ímpar).
  • Há uma subsequência convergente com limite 0 (os termos pares) e uma subsequência divergente para +\infty (os termos ímpares).

Resposta

\displaystyle \limsup_{n\to\infty} x_n = +\infty
\displaystyle \liminf_{n\to\infty} x_n = 0
A sequência não converge; é limitada inferiormente por 0 e não é limitada superiormente (diverge para +\infty na subsequência dos índices ímpares).

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