Encontre lim sup e lim inf para as seguintes sequências, e diga o que se pode concluir sobre as sequências \left(x_{n}\right). x_{n}=n^{2} \operatorname{sen}^{2}\left(\frac{n \pi}{2}\right)
Passo 1
O problema pede duas coisas claras:
Calcular \limsup\limits_{n\to\infty} x_n e \liminf\limits_{n\to\infty} x_n para a sequência
Dizer o que se pode concluir sobre a sequência (x_n) (por exemplo: se converge, é limitada, etc.).
Informações dadas (explicitamente): a fórmula geral da sequência é \;x_n=n^{2}\operatorname{sen}^{2}\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big). Não há outras hipóteses ocultas.
Passo 2
Vamos estudar o comportamento de \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right) conforme n varia. A função \operatorname{sen} com argumento \tfrac{n\pi}{2} é periódica em n com período 4, porque
Portanto \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right) toma os valores 0,1,0,-1 repetidamente.
Passo 4
Agora elevamos ao quadrado: \operatorname{sen}^{2}\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)\) anula o sinal negativo, ficando apenas \(0\) ou \(1\). Concretamente:
\[\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)= \begin{cases} 0, & \text{se \(n é par (ou seja n=2m)},\[4pt] 1, & se n é ímpar (ou seja n=2m+1). \end{cases}]]
Passo 5
Substituindo em x_n\):
\[x_n = \begin{cases} n^{2}\cdot 0 = 0, & \text{se \(n é par},\[4pt] n^{2}\cdot 1 = n^{2}, & se n é ímpar. \end{cases}]
Isso significa que a sequência é alternada: nos índices pares vale exatamente 0; nos índices ímpares vale 1^{2},3^{2},5^{2},\dots, ou seja, cresce como quadrado do índice impar.]
Passo 6
Estudemos subsequências para determinar \limsup e \liminf.
Subsequência dos termos pares: para n=2k temos x_{2k}=0 para todo k. Logo essa subsequência converge para 0. Portanto 0 é um valor limite (um acumulador) da sequência.
Subsequência dos termos ímpares: para n=2k+1 temos
Ou seja, existe uma subsequência que tende para +\infty.
Passo 7
Definições úteis (explicadas de forma prática):
\liminf_{n\to\infty} x_n é o maior número L tal que, a partir de algum ponto, quase todos os termos da sequência estão acima de L; equivalentemente, é o limite dos ínfimos das caudas \inf_{m\ge n} x_m quando n\to\infty.
\limsup_{n\to\infty} x_n é o menor número M tal que, a partir de algum ponto, quase todos os termos da sequência ficam abaixo de M; equivalentemente, é o limite dos supremos das caudas \sup_{m\ge n} x_m quando n\to\infty. Se existir uma subsequência que tende a +\infty, então \limsup é +\infty.
Aplicando ao nosso caso:
Como sempre existem termos iguais a 0 em toda cauda (os pares), temos \inf_{m\ge n} x_m = 0 para todo n. Portanto
Como existe a subsequência (x_{2k+1}) que tende para +\infty, para qualquer grande A>0 e qualquer N existe m\ge N com x_m>A. Assim \sup_{m\ge n} x_m tende a +\infty quando n\to\infty. Logo
\limsup_{n\to\infty} x_n = +\infty.
Passo 8
Conclusões finais sobre a sequência (x_n):
A sequência não converge (porque \liminf\neq\limsup; de fato \limsup=+\infty e \liminf=0).
A sequência é limitada inferiormente (por 0), mas não é limitada superiormente (é não limitada, diverge para infinito ao longo da subsequência ímpar).
Há uma subsequência convergente com limite 0 (os termos pares) e uma subsequência divergente para +\infty (os termos ímpares).
Resposta
\displaystyle \limsup_{n\to\infty} x_n = +\infty \displaystyle \liminf_{n\to\infty} x_n = 0
A sequência não converge; é limitada inferiormente por 0 e não é limitada superiormente (diverge para +\infty na subsequência dos índices ímpares).