Encontre lim sup e lim inf para as seguintes sequências, e diga o que se pode concluir sobre as sequências \left(x_{n}\right)\). \(x_{n}= \begin{cases}\frac{1}{2^{(n+2) / 2}}, & \text { se } n \text { é par; } \\\\ 1-\frac{1}{2^{(n+2) / 2}}, & \text { se } n \text { é impar. }\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar \limsup\) e \(\liminf\) da sequência dada e dizer o que se conclui sobre a sequência \(\left(x_{n}\right)\) (ou seja, se converge ou não, e por quê). A sequência é dada por \[x_{n}= \begin{cases}\dfrac{1}{2^{(n+2)/2}}, & \text{se \(n é par;} \[6pt] 1-\dfrac{1}{2^{(n+2)/2}}, & se n é ímpar.\end{cases}]
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Para índices pares temos uma fórmula com potência de 2 no denominador.
  • Para índices ímpares temos 1 menos uma quantidade parecida (também com potência de 2 no denominador).
  • Precisamos comparar os comportamentos das parcelas pares e ímpares para deduzir \limsup e \liminf, e então concluir sobre convergência.]

Passo 2

Vamos separar explicitamente as duas subsequências (isso ajuda muito): escrevemos fórmulas em termos de um índice k.
Se n é par, escreva n=2k com k\ge 1. Então
x_{2k}=\frac{1}{2^{(2k+2)/2}}=\frac{1}{2^{k+1}}.
Se n é ímpar, escreva n=2k-1 com k\ge 1. Então
x_{2k-1}=1-\frac{1}{2^{(2k-1+2)/2}}=1-\frac{1}{2^{k+1/2}}.
Essas fórmulas são equivalentes à definição original, só que indexadas de forma a separar pares e ímpares.

Passo 3

Analisando a subsequência dos termos pares \left(x_{2k}\right)_{k\ge1}.
Temos
x_{2k}=\frac{1}{2^{k+1}}.
Explique rápido por que isso tende a \,0: a função exponencial 2^{k+1} cresce sem limite quando k\to\infty, logo o recíproco \dfrac{1}{2^{k+1}} tende a \,0. Em linguagem simples: dividir por potências cada vez maiores de 2 manda o número para zero.
Portanto
\lim_{k\to\infty} x_{2k}=0.

Passo 4

Analisando a subsequência dos termos ímpares \left(x_{2k-1}\right)_{k\ge1}.
Temos
x_{2k-1}=1-\frac{1}{2^{k+1/2}}.
Note que 2^{k+1/2}=2^{k}\cdot 2^{1/2} cresce sem limite quando k\to\infty, então \dfrac{1}{2^{k+1/2}}\to 0. Portanto a parcela subtraída de 1 tende a zero, e assim
\lim_{k\to\infty} x_{2k-1}=1.
Em palavras: os termos ímpares aproximam-se de 1, enquanto os pares aproximam-se de 0.

Passo 5

Definição e relação útil sobre \limsup e \liminf (explicação didática):
  • \limsup_{n\to\infty} x_n é, por definição, \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sup_{k\ge n} x_k. Intuitivamente é o maior valor limite que a sequência pode “aproximar” infinitamente vezes — o maior limite de subsequência possível.
  • \liminf_{n\to\infty} x_n é \displaystyle\lim_{n\to\infty}\inf_{k\ge n} x_k. Intuitivamente é o menor valor limite que a sequência pode aproximar infinitamente vezes — o menor limite de subsequência possível.
  • Uma propriedade prática muito usada: o conjunto de todos os limites de subsequências (os “limites parciais”) tem supremum igual a \limsup e ínfimo igual a \liminf. Assim, se eu consigo achar subsequências que convergem a certos valores, esses valores entram nesse conjunto.

Passo 6

Aplicando a propriedade de subsequências encontrada:
Das etapas anteriores temos duas subsequências com limites diferentes:
\lim_{k\to\infty} x_{2k}=0\quad\text{e}\quad \lim_{k\to\infty} x_{2k-1}=1.
Isso mostra que o conjunto de limites de subsequências contém pelo menos os valores \{0,1\}. Não existe subsequência com limite maior que 1 porque todos os termos x_n são \le 1 (de fato os ímpares são algo menor que 1 e os pares são positivos pequenos). Também não existe subsequência com limite menor que 0 porque todos os termos são positivos (pares são positivos e ímpares estão abaixo de 1 mas acima de 0 para todo n). Logo o conjunto de limites de subsequências está contido em [0,1] e contém \{0,1\}, portanto seus supremo é 1 e seu ínfimo é 0.
Por consequência:
\limsup_{n\to\infty} x_n = 1,
\liminf_{n\to\infty} x_n = 0.

Passo 7

Conclusão sobre convergência:
Uma sequência converge se, e somente se, \limsup_{n\to\infty} x_n = \liminf_{n\to\infty} x_n. Aqui temos \limsup = 1 e \liminf = 0, valores diferentes; portanto a sequência \left(x_n\right) não converge. Intuitivamente ela “oscila” entre valores próximos de 0 (quando n é par) e valores próximos de 1 (quando n é ímpar).

Resposta

\limsup_{n\to\infty} x_n = 1
\liminf_{n\to\infty} x_n = 0
A sequência \left(x_n\right) não converge (os termos pares tendem a 0 e os ímpares tendem a 1).

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