Encontre lim sup e lim inf para as seguintes sequências, e diga o que se pode concluir sobre as sequências
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar
é par;} \[6pt] 1-\dfrac{1}{2^{(n+2)/2}}, & se
é ímpar.\end{cases}]
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Para índices pares temos uma fórmula com potência de
no denominador. - Para índices ímpares temos
menos uma quantidade parecida (também com potência de no denominador). - Precisamos comparar os comportamentos das parcelas pares e ímpares para deduzir
e , e então concluir sobre convergência.]
Passo 2
Vamos separar explicitamente as duas subsequências (isso ajuda muito): escrevemos fórmulas em termos de um índice
.
Se
é par, escreva
com
. Então
Se
é ímpar, escreva
com
. Então
Essas fórmulas são equivalentes à definição original, só que indexadas de forma a separar pares e ímpares.
Passo 3
Analisando a subsequência dos termos pares
.
Temos
Explique rápido por que isso tende a
: a função exponencial
cresce sem limite quando
, logo o recíproco
tende a
. Em linguagem simples: dividir por potências cada vez maiores de
manda o número para zero.
Portanto
Passo 4
Analisando a subsequência dos termos ímpares
.
Temos
Note que
cresce sem limite quando
, então
. Portanto a parcela subtraída de
tende a zero, e assim
Em palavras: os termos ímpares aproximam-se de
, enquanto os pares aproximam-se de
.
Passo 5
Definição e relação útil sobre
e
(explicação didática):
-
é, por definição, . Intuitivamente é o maior valor limite que a sequência pode “aproximar” infinitamente vezes — o maior limite de subsequência possível. -
é . Intuitivamente é o menor valor limite que a sequência pode aproximar infinitamente vezes — o menor limite de subsequência possível. - Uma propriedade prática muito usada: o conjunto de todos os limites de subsequências (os “limites parciais”) tem supremum igual a
e ínfimo igual a . Assim, se eu consigo achar subsequências que convergem a certos valores, esses valores entram nesse conjunto.
Passo 6
Aplicando a propriedade de subsequências encontrada:
Das etapas anteriores temos duas subsequências com limites diferentes:
Isso mostra que o conjunto de limites de subsequências contém pelo menos os valores
. Não existe subsequência com limite maior que
porque todos os termos
são
(de fato os ímpares são algo menor que
e os pares são positivos pequenos). Também não existe subsequência com limite menor que
porque todos os termos são positivos (pares são positivos e ímpares estão abaixo de
mas acima de
para todo
). Logo o conjunto de limites de subsequências está contido em
e contém
, portanto seus supremo é
e seu ínfimo é
.
Por consequência:
Passo 7
Conclusão sobre convergência:
Uma sequência converge se, e somente se,
. Aqui temos
e
, valores diferentes; portanto a sequência
não converge. Intuitivamente ela “oscila” entre valores próximos de
(quando
é par) e valores próximos de
(quando
é ímpar).
Resposta
A sequência