Seja \left(x_{n}\right) uma sequência de números reais positivos. Mostre então que
\liminf \frac{x_{n+1}}{x_{n}} \leq \liminf \left(x_{n}\right)^{1 / n} \leq \limsup \left(x_{n}\right)^{1 / n} \leq \limsup \frac{x_{n+1}}{x_{n}} .
Use esse desigualdade para mostrar que \lim \frac{(n!)^{1 / n}}{n}=\frac{1}{e}

Passo 1

O enunciado dá uma sequência de números reais positivos \left(x_{n}\right) e pede duas coisas:
  1. Mostrar a cadeia de desigualdades
\liminf \frac{x_{n+1}}{x_{n}} \leq \liminf \left(x_{n}\right)^{1 / n} \leq \limsup \left(x_{n}\right)^{1 / n} \leq \limsup \frac{x_{n+1}}{x_{n}} .
  1. Usar essa desigualdade para concluir que
\lim \frac{(n!)^{1 / n}}{n}=\frac{1}{e}.
Informações relevantes dadas:
  • \left(x_{n}\right) é uma sequência de números reais positivos (logo podemos tomar raízes e razões sem problema).
  • Precisamos relacionar limites inferiores e superiores das razões \dfrac{x_{n+1}}{x_n} com os das raízes x_n^{1/n}.
A partir daqui começamos a resolução efetiva.

Passo 2

Primeira ideia útil (muito comum para sequências positivas): escrever x_n como produto telescópico das razões. Defina
r_n := \frac{x_{n+1}}{x_n}\qquad\text{e}\qquad a_n := x_n^{1/n}.
Então, para n\ge 2,
x_n = x_1\prod_{k=1}^{n-1} r_k.
Explicando devagar: multiplicando sucessivamente as razões temos x_2=x_1 r_1, x_3=x_2 r_2 = x_1 r_1 r_2, e assim por diante; por isso a fórmula acima vale.
Tomando a raiz enésima em ambos os lados obtemos
a_n = x_n^{1/n} = x_1^{1/n}\left(\prod_{k=1}^{n-1} r_k\right)^{1/n} = x_1^{1/n}\prod_{k=1}^{n-1} r_k^{1/n}.
Essa expressão será a base das estimativas que vamos fazer.

Passo 3

Vamos provar a primeira desigualdade
\liminf r_n \le \liminf a_n.
Denote L := \liminf r_n. Pela definição do \liminf (uma propriedade útil que precisamos usar): para todo \varepsilon>0 existe N tal que
r_n \ge L-\varepsilon\quad\text{para todo } n\ge N.
Justificativa curta da propriedade: L=\sup_{m}\inf_{n\ge m} r_n, então para \varepsilon>0 existe m com \inf_{n\ge m} r_n > L-\varepsilon; isso significa exatamente que todos os r_n com n\ge m valem pelo menos L-\varepsilon.

Passo 4

A partir da propriedade anterior, fixe \varepsilon>0 e escolha N tal que r_n\ge L-\varepsilon para todo n\ge N. Para qualquer n\ge N e qualquer p\ge 1 temos, ao multiplicar p dessas desigualdades,
\frac{x_{n+p}}{x_n} = \prod_{k=n}^{n+p-1} r_k \ge (L-\varepsilon)^p.
Agora tome raízes: para m:=n+p,
a_m = x_m^{1/m} \ge \big((L-\varepsilon)^p x_n\big)^{1/m} = (L-\varepsilon)^{p/m} x_n^{1/m}.
Agora fazemos p\to\infty mantendo n fixo (isso faz m\to\infty também). Observações importantes:
  • \displaystyle\lim_{m\to\infty} (L-\varepsilon)^{p/m} = L-\varepsilon porque p/m \to 1 quando p\to\infty com m=n+p.
  • \displaystyle\lim_{m\to\infty} x_n^{1/m} = 1 (qualquer número fixo elevado a 1/m tende a 1 quando m\to\infty).
Portanto, tomando \liminf em m,
\liminf_{m\to\infty} a_m \ge L-\varepsilon.
Como isso vale para todo \varepsilon>0, concluímos
\liminf a_n \ge L = \liminf r_n.
Reescrevendo no sentido pedido:
\liminf \frac{x_{n+1}}{x_n} \le \liminf x_n^{1/n}.

Passo 5

Agora provamos a última desigualdade
\limsup x_n^{1/n} \le \limsup \frac{x_{n+1}}{x_n}.
Denote S := \limsup r_n. Pela definição do \limsup: para todo \varepsilon>0 existe N tal que
r_n \le S+\varepsilon\quad\text{para todo } n\ge N.
Usando o mesmo raciocínio de iteração, para n\ge N e p\ge 1 obtemos
\frac{x_{n+p}}{x_n} = \prod_{k=n}^{n+p-1} r_k \le (S+\varepsilon)^p,
então para m=n+p,
a_m = x_m^{1/m} \le (S+\varepsilon)^{p/m} x_n^{1/m}.
Fazendo p\to\infty (portanto m\to\infty) com n fixo, temos p/m\to 1 e x_n^{1/m}\to 1, daí
\limsup_{m\to\infty} a_m \le S+\varepsilon.
Como \varepsilon>0 é arbitrário, segue
\limsup a_n \le S = \limsup r_n.
Ou seja,
\limsup x_n^{1/n} \le \limsup \frac{x_{n+1}}{x_n}.

Passo 6

A desigualdade do meio, \liminf x_n^{1/n} \le \limsup x_n^{1/n}, é sempre verdadeira por definição de \liminf e \limsup (o ínfimo limite não pode ser maior que o supremo limite). Portanto juntando os resultados dos passos anteriores obtemos a cadeia completa
\liminf \frac{x_{n+1}}{x_n} \le \liminf x_n^{1/n} \le \limsup x_n^{1/n} \le \limsup \frac{x_{n+1}}{x_n}.

Passo 7

Aplicação ao fatorial. Queremos calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^{1/n}}{n}.
Para usar a desigualdade anterior, defina a sequência
x_n := \frac{n!}{n^n}.
Então
x_n^{1/n} = \frac{(n!)^{1/n}}{n},
que é exatamente a expressão cujo limite queremos. Vamos calcular a razão
r_n = \frac{x_{n+1}}{x_n}.
Calcule passo a passo:
r_n = \frac{(n+1)!/(n+1)^{\,n+1}}{n!/n^n} = \frac{(n+1)\,n!}{(n+1)^{\,n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!} = \frac{n^n}{(n+1)^n} =\left(\frac{n}{n+1}\right)^n =\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n.

Passo 8

Calcule o limite de r_n. É um limite clássico; uma maneira limpinha:
\ln r_n = n\ln\left(1-\frac{1}{n+1}\right).
Faça a substituição m=n+1. Então
\ln r_n = (m-1)\ln\left(1-\frac{1}{m}\right).
Sabemos o limite padrão \lim_{m\to\infty} m\ln\left(1-\frac{1}{m}\right) = -1 (porque \ln(1+u)\sim u quando u\to 0, ou usando \lim_{m}(1-1/m)^m = 1/e). Mais diretamente,
\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^m = \frac{1}{e},
então substituindo voltamos a
\lim_{n\to\infty} r_n = \frac{1}{e}.
Como r_n converge, seus \liminf e \limsup coincidem e valem 1/e.

Passo 9

Agora aplicamos a desigualdade obtida nos passos anteriores à sequência x_n = n!/n^n. Temos
\liminf r_n = \limsup r_n = \frac{1}{e},
logo, pela cadeia
\frac{1}{e} = \liminf r_n \le \liminf x_n^{1/n} \le \limsup x_n^{1/n} \le \limsup r_n = \frac{1}{e}.
Isso força
\liminf x_n^{1/n} = \limsup x_n^{1/n} = \frac{1}{e},
portanto o limite existe e vale \dfrac{1}{e}. Em termos da quantidade original,
\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^{1/n}}{n} = \frac{1}{e}.

Resposta

\liminf \frac{x_{n+1}}{x_{n}} \leq \liminf \left(x_{n}\right)^{1 / n} \leq \limsup \left(x_{n}\right)^{1 / n} \leq \limsup \frac{x_{n+1}}{x_{n}} .
\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^{1/n}}{n}=\frac{1}{e}.

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