Seja
uma sequência de números reais positivos. Mostre então que
Use esse desigualdade para mostrar que
Passo 1
O enunciado dá uma sequência de números reais positivos
e pede duas coisas:
- Mostrar a cadeia de desigualdades
- Usar essa desigualdade para concluir que
Informações relevantes dadas:
-
é uma sequência de números reais positivos (logo podemos tomar raízes e razões sem problema). - Precisamos relacionar limites inferiores e superiores das razões
com os das raízes .
A partir daqui começamos a resolução efetiva.
Passo 2
Primeira ideia útil (muito comum para sequências positivas): escrever
como produto telescópico das razões. Defina
Então, para
,
Explicando devagar: multiplicando sucessivamente as razões temos
,
, e assim por diante; por isso a fórmula acima vale.
Tomando a raiz enésima em ambos os lados obtemos
Essa expressão será a base das estimativas que vamos fazer.
Passo 3
Vamos provar a primeira desigualdade
Denote
. Pela definição do
(uma propriedade útil que precisamos usar): para todo
existe
tal que
Justificativa curta da propriedade:
, então para
existe
com
; isso significa exatamente que todos os
com
valem pelo menos
.
Passo 4
A partir da propriedade anterior, fixe
e escolha
tal que
para todo
. Para qualquer
e qualquer
temos, ao multiplicar
dessas desigualdades,
Agora tome raízes: para
,
Agora fazemos
mantendo
fixo (isso faz
também). Observações importantes:
-
porque quando com . -
(qualquer número fixo elevado a tende a quando ).
Portanto, tomando
em
,
Como isso vale para todo
, concluímos
Reescrevendo no sentido pedido:
Passo 5
Agora provamos a última desigualdade
Denote
. Pela definição do
: para todo
existe
tal que
Usando o mesmo raciocínio de iteração, para
e
obtemos
então para
,
Fazendo
(portanto
) com
fixo, temos
e
, daí
Como
é arbitrário, segue
Ou seja,
Passo 6
A desigualdade do meio,
, é sempre verdadeira por definição de
e
(o ínfimo limite não pode ser maior que o supremo limite). Portanto juntando os resultados dos passos anteriores obtemos a cadeia completa
Passo 7
Aplicação ao fatorial. Queremos calcular
Para usar a desigualdade anterior, defina a sequência
Então
que é exatamente a expressão cujo limite queremos. Vamos calcular a razão
Calcule passo a passo:
Passo 8
Calcule o limite de
. É um limite clássico; uma maneira limpinha:
Faça a substituição
. Então
Sabemos o limite padrão
(porque
quando
, ou usando
). Mais diretamente,
então substituindo voltamos a
Como
converge, seus
e
coincidem e valem
.
Passo 9
Agora aplicamos a desigualdade obtida nos passos anteriores à sequência
. Temos
logo, pela cadeia
Isso força
portanto o limite existe e vale
. Em termos da quantidade original,