Mostre que a função f(x)=llx^2 & se x<1 3 & se x=1 2 x+1 & se x>1 é contínua em x=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a função [f(x)) definida por:
é contínua em se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita é igual ao valor da função em .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite da função quando x se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1). Para x < 1 , a função é f(x) = x^2 . Então:
limx to 1^- f(x) = limx to 1^- x^2 = 1^2 = 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar o limite da função quando x se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1). Para x > 1 , a função é f(x) = 2x + 1 . Então:
limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (2x + 1) = 2 times 1 + 1 = 3

Passo 4

Em seguida, vamos ver o valor da função exatamente em x = 1 . De acordo com a definição da função:
f(1) = 3

Passo 5

Para a função ser contínua em x = 1 , os três valores calculados devem ser iguais:
limx to 1^- f(x) = 1 limx to 1^+ f(x) = 3 f(1) = 3
Aqui, o limite pela esquerda ( 1 ) é diferente do limite pela direita ( 3 ). Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua em x = 1 .

Resposta

A função f(x) não é contínua em x = 1 porque os limites laterais são diferentes.

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