Encontre lim (x, y) (0,0) x cdot sen yraizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim (x, y) (0,0) x cdot sen yraizx^2+y^2. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que ajudam a simplificar expressões envolvendo x e y ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta). As fórmulas são:
x = r cdot cos theta
y = r cdot sin theta
raizx^2+y^2 = r
Aqui, r é a distância do ponto (x, y) até a origem (0,0), e theta é o ângulo formado com o eixo x.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na função original:
x cdot sen yraizx^2+y^2 = (r cdot cos theta) cdot sin (r cdot sin theta)r
Aqui, substituímos x por r cos theta e y por r sin theta.

Passo 4

Simplificando a expressão, o r no numerador e no denominador se cancelam:
(r cdot cos theta) cdot sin (r cdot sin theta)r = cos theta cdot sin (r cdot sin theta)
Então, a função fica mais simples dessa forma.

Passo 5

Agora, precisamos analisar o comportamento de sin (r cdot sin theta) quando r se aproxima de 0. Sabemos que sin z approx z quando z é próximo de 0. Então:
sin (r cdot sin theta) approx r cdot sin theta
Substituindo na expressão, temos:
cos theta cdot (r cdot sin theta) = r cdot cos theta cdot sin theta

Passo 6

Agora, observamos que conforme r 0, o termo r cdot cos theta cdot sin theta também tende a 0, já que r está multiplicando os outros termos, que são limitados (pois cos theta e sin theta estão entre -1 e 1).

Resposta

O limite é 0.

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