Encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que ajudam a simplificar expressões envolvendo
e
ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas
para polares
. As fórmulas são:
Aqui,
é a distância do ponto
até a origem
, e
é o ângulo formado com o eixo
.
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expressões na função original:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 4
Simplificando a expressão, o
no numerador e no denominador se cancelam:
Então, a função fica mais simples dessa forma.
Passo 5
Agora, precisamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de 0. Sabemos que
quando
é próximo de 0. Então:
Substituindo na expressão, temos:
Passo 6
Agora, observamos que conforme
, o termo
também tende a 0, já que
está multiplicando os outros termos, que são limitados (pois
e
estão entre -1 e 1).
Resposta
O limite é 0.