Encontre o limite de lim x 0 1-1(1+x)^2-2 x+3 x^2x^3.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto01-1(1+x)^2-2x+3x^2x^3
O conteúdo aqui é a expansão em série de Taylor (ou binomial de Newton) de (1+x)^-2 em torno de x=0. Vamos precisar dessa expansão até termos de ordem x^3.

Passo 2

Usamos a fórmula binomial para (1+x)^-2. Até a ordem x^3 temos
(1+x)^-2 = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + O(x^4)

Passo 3

Substituímos essa expansão no numerador:
1 - 1(1+x)^2 - 2x + 3x^2 = 1 - l(1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + O(x^4)r) - 2x + 3x^2
Agora abrimos parênteses e juntamos termos semelhantes:
= 1 - 1 + 2x - 3x^2 + 4x^3 + O(x^4) - 2x + 3x^2 = 4x^3 + O(x^4)

Passo 4

Logo, para x pequeno o numerador vale 4x^3+O(x^4). Dividindo por x^3 e tomando xto0
limxto04x^3+O(x^4)x^3 = 4

Resposta

4

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