Sejam a, b in Z, prove que (-a) b=-(a b) e a(-b)=-(a b).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando as propriedades de anel (ou de grupo abeliano em adição e distributividade do produto sobre a soma), que para quaisquer a,binZ valem
(-a),b = -(a,b) e a,(-b) = -(a,b)
Vamos usar que x + (-x) = 0 e que o produto distribui sobre a soma.

Passo 2

Para a primeira igualdade note que -a + a = 0. Multiplicando ambos os lados por b e usando a distributividade, obtemos
0cdot b = l(-a + ar),b Longrightarrow 0 = (-a),b + a,b
Aqui usamos que 0cdot b = 0 e (x+y),b = x,b + y,b.

Passo 3

Da igualdade
(-a),b + a,b = 0
vemos que (-a),b é o inverso aditivo de a,b. Logo, por definição de inverso em adição,
(-a),b = -(a,b)

Passo 4

Para a segunda igualdade repetimos raciocínio semelhante. Sabemos que b + (-b) = 0. Multiplicando à esquerda por a
acdot 0 = a,l(b + (-b)r) Longrightarrow 0 = a,b + a,(-b),
usando acdot 0 = 0 e a,(y+z)=a,y + a,z.

Passo 5

Da igualdade
a,b + a,(-b) = 0
concluímos que a,(-b) é o inverso aditivo de a,b. Portanto
a,(-b) = -(a,b)

Resposta

Mostramos que
(-a),b = -(a,b) e a,(-b) = -(a,b),
como era requerido.

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