Sejam
, prove que
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando as propriedades de anel (ou de grupo abeliano em adição e distributividade do produto sobre a soma), que para quaisquer
valem
Vamos usar que
e que o produto distribui sobre a soma.
Passo 2
Para a primeira igualdade note que
. Multiplicando ambos os lados por
e usando a distributividade, obtemos
Aqui usamos que
e
.
Passo 3
Da igualdade
vemos que
é o inverso aditivo de
. Logo, por definição de inverso em adição,
Passo 4
Para a segunda igualdade repetimos raciocínio semelhante. Sabemos que
. Multiplicando à esquerda por
dá
usando
e
.
Passo 5
Da igualdade
concluímos que
é o inverso aditivo de
. Portanto
Resposta
Mostramos que
como era requerido.