Sejam
. Prove que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que dois inteiros
e
são iguais se, e somente se, sua diferença aditiva
é zero. Isso envolve propriedades de grupo abeliano: elemento neutro (zero), inverso aditivo (
) e associatividade da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos à implicação direta. Se
, então substituindo, temos
. Como
é o inverso aditivo de
, a soma
é o elemento neutro, isto é,
. Logo,
.
Passo 3
Agora, a implicação recíproca. Suponha que
. Adicionando
aos dois lados da igualdade, obtemos
. Pela associatividade da soma, isso é equivalente a
. Sabemos que
, de modo que
. Finalmente, pelo elemento neutro, concluímos
.
Resposta
Portanto, mostramos que
se, e somente se,
.