Sejam a, b in Z. Prove que a=b se, e somente se, a+(-b)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que dois inteiros a e b são iguais se, e somente se, sua diferença aditiva a + (-b) é zero. Isso envolve propriedades de grupo abeliano: elemento neutro (zero), inverso aditivo ( -b) e associatividade da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos à implicação direta. Se a = b, então substituindo, temos a + (-b) = b + (-b). Como -b é o inverso aditivo de b, a soma b + (-b) é o elemento neutro, isto é, 0. Logo, a + (-b) = 0.

Passo 3

Agora, a implicação recíproca. Suponha que a + (-b) = 0. Adicionando b aos dois lados da igualdade, obtemos (a + (-b)) + b = 0 + b. Pela associatividade da soma, isso é equivalente a a + ((-b) + b) = b. Sabemos que (-b) + b = 0, de modo que a + 0 = b. Finalmente, pelo elemento neutro, concluímos a = b.

Resposta

Portanto, mostramos que a = b se, e somente se, a + (-b) = 0.

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