Questões sobre equivalência assintótica:
Sabendo que .
Determine e .

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de dois limites quando xto 0 usando equivalências assintóticas. Lembrando que dizer f(x)sim g(x) significa
limxto0f(x)g(x)=1
Temos disponíveis
cos(x)sim 1-tfracx^22,
ln(1+x)sim x e
e^x-1sim x.

Passo 2

Para calcular
limxto01-cos(x)x^2,
usamos cos(x)sim 1-tfracx^22. Então para x pequeno
1-cos(x)sim 1-l(1-tfracx^22r)=x^22
Logo
1-cos(x)x^2sim tfracx^22x^2=12
e portanto
limxto01-cos(x)x^2=12

Passo 3

Para calcular
limxto0e^x-1ln(1+x),
usamos e^x-1sim x e ln(1+x)sim x. Assim, quando xto0,
e^x-1ln(1+x)sim xx=1
e portanto
limxto0e^x-1ln(1+x)=1

Resposta

limxto01-cos(x)x^2=12, limxto0e^x-1ln(1+x)=1

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