Seja a sequência an=(-1)^nn.
a. Encontre duas subsequências convergentes de an (obs.: busque uma subsequência que resulte em termos pares e outra que resulte em termos ímpares para obter maior abrangência acerca do comportamento da série).
b. Utilize o teorema das subsequências para determinar se an converge.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = (-1)^nn
e pede (a) duas subsequências convergentes – uma com termos de índice par e outra com termos de índice ímpar – e (b) usar o teorema das subsequências para concluir se an converge. Vamos precisar dos conceitos de subsequência, limite de sequência e do teorema que diz: “se todas as subsequências convergem para o mesmo limite, então a sequência original converge para esse limite”.

Passo 2

Definimos a subsequência dos termos com índice par por
a2k = (-1)^2k2k = 12k
Como 12k é uma sequência positiva que tende a zero quando ktoinfty, temos
limktoinfty a2k = 0

Passo 3

Definimos a subsequência dos termos com índice ímpar por
a2k-1 = (-1)^2k-12k-1 = -12k-1
Como -tfrac12k-1 também tende a zero quando ktoinfty, concluímos
limktoinfty a2k-1 = 0

Passo 4

Pelo teorema das subsequências, se todas as subsequências convergentes têm o mesmo limite L, então a sequência original converge para L. Aqui ambas as subsequências convergem para 0, logo
limntoinfty an = 0

Resposta

(a) As subsequências
a2k = 12k
e
a2k-1 = -12k-1
convergem ambas para 0.
(b) Portanto limntoinfty an = 0.

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