Seja a sequência
.
a. Encontre duas subsequências convergentes de
(obs.: busque uma subsequência que resulte em termos pares e outra que resulte em termos ímpares para obter maior abrangência acerca do comportamento da série).
b. Utilize o teorema das subsequências para determinar se
converge.
a. Encontre duas subsequências convergentes de
b. Utilize o teorema das subsequências para determinar se
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede (a) duas subsequências convergentes – uma com termos de índice par e outra com termos de índice ímpar – e (b) usar o teorema das subsequências para concluir se
converge. Vamos precisar dos conceitos de subsequência, limite de sequência e do teorema que diz: “se todas as subsequências convergem para o mesmo limite, então a sequência original converge para esse limite”.
Passo 2
Definimos a subsequência dos termos com índice par por
Como
é uma sequência positiva que tende a zero quando
, temos
Passo 3
Definimos a subsequência dos termos com índice ímpar por
Como
também tende a zero quando
, concluímos
Passo 4
Pelo teorema das subsequências, se todas as subsequências convergentes têm o mesmo limite
, então a sequência original converge para
. Aqui ambas as subsequências convergem para
, logo
Resposta
(a) As subsequências
e
convergem ambas para
.
(b) Portanto .
(b) Portanto