Encontre o limite.
lim x 1 x^9-1x^5-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto1x^9-1x^5-1
Este é um problema de limites envolvendo forma indeterminada tfrac00. Para resolver vamos usar fatoração de potências (ou, alternativamente, a regra de L\’Hôpital).

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada ao substituir x=1:
1^9-1=0, 1^5-1=0,
logo temos tfrac00. Podemos então fatorar x^n-1 pelo produto (x-1)(1+x+cdots+x^n-1).

Passo 3

Fatorando cada termo:
x^9-1=(x-1)l(1 + x + x^2 + cdots + x^8r),
x^5-1=(x-1)l(1 + x + x^2 + x^3 + x^4r)

Passo 4

Podemos cancelar o fator comum (x-1), obtendo
x^9-1x^5-1 =1 + x + x^2 + cdots + x^81 + x + x^2 + x^3 + x^4
Assim o limite vira
limxto11 + x + x^2 + cdots + x^81 + x + x^2 + x^3 + x^4

Passo 5

Como a expressão resultante é contínua em x=1, basta substituir x=1:
no numerador somam-se nove vezes 1, e no denominador cinco vezes 1. Logo
limxto11 + x + cdots + x^81 + x + cdots + x^4 =95

Resposta

95

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