Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=1^+infty n sen(1n)

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^+infty n sin!l(tfrac1nr)
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas e, em particular, vamos usar o teste do termo geral combinado com uma expansão de Taylor para sin x quando x é pequeno.

Passo 2

Para x pequeno temos a expansão de Taylor
sin x = x - x^36 + O(x^5)
Tomando x = tfrac1n, fica
sin!l(tfrac1nr) = 1n - 16,n^3 + O!l(n^-5r)
Multiplicando por n, o termo geral da série é
an = n,sin!l(tfrac1nr) = nl(tfrac1n - tfrac16n^3 + O(n^-5)r) = 1 - 16,n^2 + O!l(n^-4r)

Passo 3

Como
limntoinfty an = limntoinftyl(1 - tfrac16n^2 + cdotsr) = 1 neq 0,
o teste do termo geral diz que, se os termos an não tendem a zero, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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