Encontre o limite.
\quad \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x{a}-1}{x{b}-1}$

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1x^a-1x^b-1,
que é um caso clássico de forma indeterminada 0/0. Vamos usar a regra de l’Hôpital, que diz que se lim f(x)=lim g(x)=0 e as derivadas existem, então
limxto1f(x)g(x) =limxto1f'(x)g'(x),
desde que esse último limite exista.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em x=1:
1^a-1=0 e 1^b-1=0,
logo temos de fato a forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Aplicando l’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x. Para f(x)=x^a-1 temos f'(x)=a,x^a-1 e para g(x)=x^b-1 temos g'(x)=b,x^b-1. Assim,
limxto1x^a-1x^b-1 =limxto1a,x^a-1b,x^b-1

Passo 4

Agora basta avaliar em x=1:
acdot1^a-1bcdot1^b-1 =ab

Resposta

ab

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