Encontre o limite.
\quad \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{\operatorname{sen}(x)}$

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0e^x - 1sin(x)
Percebemos que, ao substituir x=0, o numerador e o denominador vão a zero, gerando a forma indeterminada 0/0. O tema aqui é limites de funções exponencial e trigonométrica, e podemos usar a regra de L\’Hospital para resolver.

Passo 2

Verificamos explicitamente a indeterminação:
e^0 - 1 = 0,
sin(0) = 0
Como temos 0/0, a regra de L\’Hospital diz que, se f e g são diferenciáveis perto de 0 e f(0)=g(0)=0, então
limxto0f(x)g(x) = limxto0f'(x)g'(x),
desde que este segundo limite exista.

Passo 3

Aplicando a regra de L\’Hospital, escolhemos
f(x)=e^x-1, g(x)=sin(x)
As derivadas são
f'(x)=e^x,
g'(x)=cos(x)
Logo,
limxto0e^x - 1sin(x) = limxto0e^xcos(x) = e^0cos(0) = 11 = 1

Resposta

1

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