Encontre o limite.
17. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+4 x+1}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite \displaystyle \lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}+4x+1}-x\bigr).
Esse tipo de expressão é uma forma indeterminada \infty - \infty, então vamos usar a técnica de racionalização, multiplicando pelo conjugado para simplificar.

Passo 2

Multiplicamos por \sqrt{x^{2}+4x+1}+x sobre si:
\sqrt{x^{2}+4x+1}-x = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+4x+1}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+4x+1}+x\bigr)}{\sqrt{x^{2}+4x+1}+x} = \frac{x^{2}+4x+1 - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4x+1}+x} = \frac{4x+1}{\sqrt{x^{2}+4x+1}+x}.
Em seguida, dividimos numerador e denominador por x:
\frac{4x+1}{\sqrt{x^{2}+4x+1}+x} = \frac{4 + \tfrac{1}{x}}{\sqrt{1 + \tfrac{4}{x} + \tfrac{1}{x^{2}}}\;+\;1}.
Agora, ao fazermos x\to\infty, temos \tfrac{1}{x}\to0 e \tfrac{1}{x^{2}}\to0, logo o valor do quociente tende a
\frac{4}{1+1} = 2.

Resposta

2

Exercícios relacionados