Encontre o limite.
18. \lim _{x \rightarrow \infty} e^{x-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty} e^{\,x - x^{2}}.
Aqui vamos usar dois fatos: primeiro, o comportamento de polinômios de alta ordem para x\to\infty, e segundo, que a função exponencial é contínua e satisfaz \lim_{t\to-\infty}e^{t}=0.

Passo 2

Definimos o expoente
\varphi(x)=x - x^{2} = -\bigl(x^{2}-x\bigr).
Como x^{2} cresce muito mais rápido que x, temos
\lim_{x\to\infty}\bigl(x^{2}-x\bigr)=+\infty \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to\infty}\varphi(x)=-\infty.

Passo 3

Pela continuidade da exponencial,
\lim_{x\to\infty}e^{\,\varphi(x)} = e^{\,\lim_{x\to\infty}\varphi(x)} = e^{-\infty}.
E como \lim_{t\to-\infty}e^{t}=0, concluímos que

Resposta

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