- Esboce um gráfico de um exemplo de função
que satisfaça as seguintes condições:
,
,
é contínua à direita em 3 .
Passo 1
Resumindo, queremos uma função
que tenha
- assimptota horizontal em
quando , - assimptota horizontal em
quando , - assimptota vertical em
com , - assimptota vertical em
com e , - continuidade à direita em
(logo ).
Vamos usar o conceito de limites laterais para determinar o comportamento do gráfico em cada região.
Passo 2
Analisando
, temos
ou seja, à esquerda o traço do gráfico se aproxima cada vez mais da reta horizontal
.
Passo 3
Em
há uma assimptota vertical comum (sem distinção lateral), pois
Isso significa que, de ambos os lados de
, o gráfico sobe sem limite.
Passo 4
Em
temos assimptota vertical, mas com comportamentos diferentes:
Além disso, como
é contínua à direita em
, definimos
ponto que deve aparecer como ponto fechado em
.
Passo 5
Para
a função se aproxima de
ou seja, há uma assimptota horizontal em
à direita.
Passo 6
Agrupando tudo, o esboço do gráfico fica assim (descrito):
- Para
, o ramo corre quase paralelo a . - Ao chegar em
, ambos os ramos (por esquerda e por direita) sobem ao infinito. - No intervalo
, o gráfico desce vindo de em e cai até em . - Em
há buraco à esquerda (porque o gráfico vai a ) e ponto fechado em . - Para
, o ramo parte de e decai suavemente, aproximando-se de conforme .
Resposta
Um esboço compatível é o seguinte (desenho esquemático):
| . . .
| . .
| . .
| /‾‾‾ \
| / \
| / \
y=-2 —————— —•—————————x= -3—|————|———————→
| \ |
| \ |
| \ .|
| \ . |
-∞ |____/———x y
/ \
/ \
. ‾‾‾ . . .→ y
| . .
| . .
| / \
| / \
y=-2 —————— —•—————————x= -3—|————|———————→
| \ |
| \ |
| \ .|
| \ . |
-∞ |____/———x
/ \
/ \
. ‾‾‾ . . .→ y
Onde:
- a reta tracejada embaixo à esquerda é
, - o traço de baixo à direita é
, - linhas verticais em
e são assimptotas verticais, - ponto fechado em
assegura continuidade à direita.