1. Esboce um gráfico de um exemplo de função f que satisfaça as seguintes condições:
    \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-2, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0, \quad \lim _{x \rightarrow-3} f(x)=\infty, \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)=2,
    f é contínua à direita em 3 .

Passo 1

Resumindo, queremos uma função f que tenha
  1. assimptota horizontal em y=-2 quando x\to -\infty,
  2. assimptota horizontal em y=0 quando x\to +\infty,
  3. assimptota vertical em x=-3 com \lim_{x\to -3}f(x)=+\infty,
  4. assimptota vertical em x=3 com \lim_{x\to3^-}f(x)=-\infty e \lim_{x\to3^+}f(x)=2,
  5. continuidade à direita em x=3 (logo f(3)=2).
    Vamos usar o conceito de limites laterais para determinar o comportamento do gráfico em cada região.

Passo 2

Analisando x\to -\infty, temos
\lim_{x\to -\infty}f(x)=-2,
ou seja, à esquerda o traço do gráfico se aproxima cada vez mais da reta horizontal y=-2.

Passo 3

Em x=-3 há uma assimptota vertical comum (sem distinção lateral), pois
\lim_{x\to -3}f(x)=+\infty.
Isso significa que, de ambos os lados de x=-3, o gráfico sobe sem limite.

Passo 4

Em x=3 temos assimptota vertical, mas com comportamentos diferentes:
\lim_{x\to3^-}f(x)=-\infty, \quad \lim_{x\to3^+}f(x)=2.
Além disso, como f é contínua à direita em 3, definimos
f(3)=2,
ponto que deve aparecer como ponto fechado em (3,2).

Passo 5

Para x\to+\infty a função se aproxima de
\lim_{x\to +\infty}f(x)=0,
ou seja, há uma assimptota horizontal em y=0 à direita.

Passo 6

Agrupando tudo, o esboço do gráfico fica assim (descrito):
  • Para x\ll -3, o ramo corre quase paralelo a y=-2.
  • Ao chegar em x=-3, ambos os ramos (por esquerda e por direita) sobem ao infinito.
  • No intervalo -3<x<3, o gráfico desce vindo de +\infty em x=-3^+ e cai até -\infty em x=3^-.
  • Em x=3 há buraco à esquerda (porque o gráfico vai a -\infty) e ponto fechado em (3,2).
  • Para x>3, o ramo parte de (3,2) e decai suavemente, aproximando-se de y=0 conforme x\to+\infty.

Resposta

Um esboço compatível é o seguinte (desenho esquemático):
| . . .
| . .
| . .
+\infty | /‾‾‾ \
| / \
| / \
y=-2 —————— —•—————————x= -3—|————|———————→
| \ |
| \ |
| \ .|
| \ . |
-∞ |____/———x =3\bullet y =2
/ \
/ \
. ‾‾‾ . . .→ y =0
Onde:
  • a reta tracejada embaixo à esquerda é y=-2,
  • o traço de baixo à direita é y=0,
  • linhas verticais em x=-3 e x=3 são assimptotas verticais,
  • ponto fechado em (3,2) assegura continuidade à direita.

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