Encontre o limite ou demonstre que não existe.
lim x 0^+ tg^-1(ln x)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0^+arctanl(ln xr)
O conteúdo envolvido é limites de funções compostas, usando o fato de que ln x tende a -infty quando xto0^+ e que arctan t tem limites horizontais em ttopminfty.

Passo 2

Primeiro calculamos o limite interno
limxto0^+ln x
Como a função ln x é contínua e estritamente crescente em (0,infty) e ln xto-infty quando xto0^+, temos
limxto0^+ln x = -infty

Passo 3

Em seguida, usamos o limite conhecido da função arctan t quando tto-infty:
limtto-inftyarctan t = -pi2
A função arctan t é contínua em toda reta real e estende-se continuamente até esses limites horizontais.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de composição de limites: se limxto ag(x)=-infty e limtto-inftyf(t)=L, então
limxto afl(g(x)r)=L
Aqui g(x)=ln x e f(t)=arctan t, logo
limxto0^+arctanl(ln xr) =limtto-inftyarctan t =-pi2

Resposta

-pi2

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