Usando a segunda regra composta de \operatorname{Simpson}(h=1), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+3 x+10\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar e comparar com o valor exato a integral
I=\int_{1}^{7}\bigl(x^{2}+3x+10\bigr)\,dx
usando a regra composta de Simpson com passo h=1. O conteúdo é aplicação da regra de Simpson 1/3 composta e cálculo de integral exata por antiderivação.

Passo 2

Como b-a=7-1=6 e escolhemos h=1, o número de subintervalos é n=6, que é par. Definimos os nós
x_{i}=1+i\cdot h,\quad i=0,1,\dots,6,
isto é, x_{0}=1, x_{1}=2, …, x_{6}=7.

Passo 3

Calculamos f(x)=x^{2}+3x+10 em cada nó:
\begin{aligned} f(1)&=14,& f(2)&=20,& f(3)&=28,\\\ f(4)&=38,& f(5)&=50,& f(6)&=64,& f(7)&=80. \end{aligned}
A regra composta de Simpson diz
I_{\text{Simp}}=\frac{h}{3}\Bigl[f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+4f(x_{5})+f(x_{6})\Bigr].
Substituindo h=1 e os valores de f,
I_{\text{Simp}}=\frac{1}{3}\Bigl[14+4\cdot20+2\cdot28+4\cdot38+2\cdot50+4\cdot64+80\Bigr] =\frac{1}{3}\times738=246.

Passo 4

Para o valor exato usamos antiderivada de x^{2}+3x+10:
\int\bigl(x^{2}+3x+10\bigr)\,dx =\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+10x.
Logo
I_{\text{exato}} =\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{3x^{2}}{2}+10x\Bigr]_{1}^{7} =\Bigl(\tfrac{343}{3}+\tfrac{147}{2}+70\Bigr) -\Bigl(\tfrac{1}{3}+\tfrac{3}{2}+10\Bigr) =246.

Passo 5

O erro é
E=I_{\text{exato}}-I_{\text{Simp}}=246-246=0.
Isso se explica porque a regra de Simpson é exata para polinômios de grau até 3, e nossa função é de grau 2.

Resposta

I_{\text{Simp}}=246 I_{\text{exato}}=246
Erro E=0

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