Usando a segunda regra composta de \operatorname{Simpson}(h=1), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=\int_{1}^{9}\left(x^{2}+6 x+9\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = \int_{1}^{9}\bigl(x^{2}+6x+9\bigr)\,dx
usando a regra composta de Simpson com passo h=1, depois calcular o valor exato por integração e, por fim, determinar o erro entre a aproximação e o valor exato. O conteúdo é integração numérica (Simpson compost o) e integração exata de polinômios.

Passo 2

Como a=1, b=9 e h=1, o número de subintervalos é
n = \frac{b-a}{h} = \frac{9-1}{1} = 8,
que é par, permitindo usar Simpson composto. A fórmula é
I_{\text{S}} = \frac{h}{3}\Bigl[f(x_{0}) + 4\sum_{i\text{ ímpar}}f(x_{i}) + 2\sum_{i\text{ par},\,i\ne0,n}f(x_{i}) + f(x_{n})\Bigr],í
com x_{i}=1+i, i=0,1,\dots,8.

Passo 3

Calculemos f(x)=x^{2}+6x+9 em cada nó:
\begin{aligned} f(1)&=1+6+9=16,\\\ f(2)&=4+12+9=25,\\\ f(3)&=9+18+9=36,\\\ f(4)&=16+24+9=49,\\\ f(5)&=25+30+9=64,\\\ f(6)&=36+36+9=81,\\\ f(7)&=49+42+9=100,\\\ f(8)&=64+48+9=121,\\\ f(9)&=81+54+9=144. \end{aligned}

Passo 4

Agora aplicamos a regra de Simpson:
\begin{aligned} I_{\text{S}} &= \frac{1}{3}\bigl[f(1)+4f(2)+2f(3)+4f(4)+2f(5)+4f(6)+2f(7)+4f(8)+f(9)\bigr]\\\ &= \frac{1}{3}\bigl[16 + 4\cdot25 + 2\cdot36 + 4\cdot49 + 2\cdot64 + 4\cdot81 + 2\cdot100 + 4\cdot121 + 144\bigr]\\\ &= \frac{1}{3}\cdot1664 = \frac{1664}{3}\approx554,6667. \end{aligned}

Passo 5

Para o valor exato, integramos polinomialmente:
\int\bigl(x^{2}+6x+9\bigr)\,dx = \frac{x^{3}}{3} +3x^{2}+9x + C.
Assim
I = \Bigl[\frac{x^{3}}{3} +3x^{2}+9x\Bigr]_{1}^{9} = \Bigl(243+243+81\Bigr) - \Bigl(\tfrac{1}{3}+3+9\Bigr) = 567 - \frac{37}{3} = \frac{1664}{3}\approx554,6667.

Passo 6

Comparando, vemos que
I_{\text{S}} = \frac{1664}{3} \quad\text{e}\quad I = \frac{1664}{3},
logo o erro
E = I - I_{\text{S}} = 0.

Resposta

Aproximação (Simpson composto, h=1):
I_{\text{S}} = \frac{1664}{3}\approx554{,}6667.
Valor exato:
I = \frac{1664}{3}\approx554{,}6667.
Erro:
E = 0.

Exercícios relacionados