\sum_{n=1}{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right){n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n^{2}}
e decidir se ela converge ou diverge. Como é uma série de termos positivos, podemos usar o Teste da Raiz ou o Teste do Termo Geral para isso.

Passo 2

Vamos aplicar o Teste da Raiz. Seja
a_{n} = \Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n^{2}}.
Calculamos a n-ésima raiz de a_{n}:
\bigl(a_{n}\bigr)^{1/n} = \Bigl[\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n^{2}}\Bigr]^{1/n} = \bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n}
e sabemos que
\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n} = e.

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty}\bigl(a_{n}\bigr)^{1/n} = e > 1,
o Teste da Raiz diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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