\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2){n}}{n{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n^{2}}
e pede para determinar seu comportamento de convergência. O conteúdo aqui são testes de convergência de séries numéricas, em particular o teste da razão (d’Alembert) ou o teste da raiz.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \frac{(-2)^{n}}{n^{2}}.
Aplicamos o teste da razão, calculando
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \left|\frac{(-2)^{n+1}/(n+1)^{2}}{(-2)^{n}/n^{2}}\right| = 2\;\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}.
Como
\lim_{n\to\infty}2\;\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} = 2 > 1,
o teste da razão nos diz que a série diverge.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n^{2}}
é divergente.

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