Exercício 4. Mostre que a função f(x)=\|x\|=\left(x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right)^{1 / 2} é contínua em \mathbb{R}^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \quad f(x)=\|x\|=\bigl(x_1^2+\cdots+x_n^2\bigr)^{1/2}
é contínua em todo ponto de \mathbb{R}^n.
O que vamos usar é a definição \varepsilon
obreakdash– \delta de continuidade e a desigualdade triangular invertida (ou seja, o fato de que o módulo da diferença de normas é controlado pela norma da diferença).

Passo 2

Recordamos a desigualdade triangular padrão: para quaisquer x,y\in\mathbb{R}^n
\|x\| = \|\,x-y + y\|\;\le\;\|x-y\| + \|y\|.
Rearranjando, obtemos
\|x\| - \|y\| \;\le\; \|x-y\|.

Passo 3

Trocando x por y e y por x na desigualdade acima, temos também
\|y\| - \|x\| \;\le\; \|y-x\| = \|x-y\|.
Juntando as duas desigualdades, concluímos a desigualdade triangular invertida:
\bigl|\|x\| - \|y\|\bigr| \;\le\; \|x-y\|.

Passo 4

Agora aplicamos isso à definição de continuidade em um ponto arbitrário a\in\mathbb{R}^n. Seja \varepsilon>0. Basta escolher \delta = \varepsilon. Então, sempre que \|x - a\| < \delta, pela desigualdade invertida obtemos
\bigl|f(x) - f(a)\bigr| = \bigl|\|x\| - \|a\|\bigr| \le \|x-a\| < \delta = \varepsilon.
Isso mostra que f é contínua em a. Como a era arbitrário, f é contínua em todo \mathbb{R}^n.

Resposta

A função f(x)=\|x\| satisfaz
\bigl|\|x\| - \|y\|\bigr| \le \|x-y\|,
logo, dada qualquer \varepsilon>0, basta \delta=\varepsilon para garantir \bigl|f(x)-f(y)\bigr|<\varepsilon sempre que \|x-y\|<\delta. Portanto f é contínua em \mathbb{R}^n.

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