é contínua em todo ponto de \mathbb{R}^n.
O que vamos usar é a definição \varepsilon
obreakdash–\delta de continuidade e a desigualdade triangular invertida (ou seja, o fato de que o módulo da diferença de normas é controlado pela norma da diferença).
Passo 2
Recordamos a desigualdade triangular padrão: para quaisquer x,y\in\mathbb{R}^n
\|x\| = \|\,x-y + y\|\;\le\;\|x-y\| + \|y\|.
Rearranjando, obtemos
\|x\| - \|y\| \;\le\; \|x-y\|.
Passo 3
Trocando x por y e y por x na desigualdade acima, temos também
\|y\| - \|x\| \;\le\; \|y-x\| = \|x-y\|.
Juntando as duas desigualdades, concluímos a desigualdade triangular invertida:
\bigl|\|x\| - \|y\|\bigr| \;\le\; \|x-y\|.
Passo 4
Agora aplicamos isso à definição de continuidade em um ponto arbitrário a\in\mathbb{R}^n. Seja \varepsilon>0. Basta escolher \delta = \varepsilon. Então, sempre que \|x - a\| < \delta, pela desigualdade invertida obtemos
Isso mostra que f é contínua em a. Como a era arbitrário, f é contínua em todo \mathbb{R}^n.
Resposta
A função f(x)=\|x\| satisfaz
\bigl|\|x\| - \|y\|\bigr| \le \|x-y\|,
logo, dada qualquer \varepsilon>0, basta \delta=\varepsilon para garantir \bigl|f(x)-f(y)\bigr|<\varepsilon sempre que \|x-y\|<\delta. Portanto f é contínua em \mathbb{R}^n.