Encontre o limite indicado utilizando a Regra de LHôspital.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o limite de
quando
se aproxima de
por valores positivos, utilizando a Regra de L’Hôpital. Isso envolve conceitos de limites, funções logarítmicas e exponenciais, além da própria Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites que dão nas indeterminações como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a aplicação da Regra de L’Hôpital. Vamos chamar o limite original de
:
Para lidar com o expoente, é útil usar propriedades de logaritmos e exponenciais. Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Pela propriedade dos logaritmos, podemos trazer o expoente para frente:
Então, agora precisamos encontrar o limite de
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Analisando o limite
, percebemos que estamos lidando com uma forma do tipo
, que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão de uma forma que nos permita aplicar a Regra de L’Hôpital. Uma estratégia é reescrever o produto como uma fração:
Agora, temos uma forma
, que ainda é uma indeterminação, mas agora podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos diz que se o limite de
dá uma forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador,
:
- Derivada do denominador,
:
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Passo 5
Agora, temos o limite
. Novamente, ao substituir
por
, a expressão tende a
, que é
. Portanto:
Isso significa que:
Resposta
O limite é igual a
.