Encontre o limite indicado utilizando a Regra de LHôspital.
lim x 0^+ ln (x)^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o limite de ln(x)^x quando x se aproxima de 0 por valores positivos, utilizando a Regra de L’Hôpital. Isso envolve conceitos de limites, funções logarítmicas e exponenciais, além da própria Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites que dão nas indeterminações como 0/0 ou infty/infty.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a aplicação da Regra de L’Hôpital. Vamos chamar o limite original de L:
L = limx 0^+ ln(x)^x
Para lidar com o expoente, é útil usar propriedades de logaritmos e exponenciais. Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
ln(L) = ln(limx 0^+ ln(x)^x)
Pela propriedade dos logaritmos, podemos trazer o expoente para frente:
ln(L) = limx 0^+ x cdot ln(ln(x))
Então, agora precisamos encontrar o limite de x cdot ln(ln(x)) quando x se aproxima de 0^+.

Passo 3

Analisando o limite limx 0^+ x cdot ln(ln(x)), percebemos que estamos lidando com uma forma do tipo 0 cdot (-infty), que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão de uma forma que nos permita aplicar a Regra de L’Hôpital. Uma estratégia é reescrever o produto como uma fração:
limx 0^+ x cdot ln(ln(x)) = limx 0^+ ln(ln(x))1/x
Agora, temos uma forma -inftyinfty, que ainda é uma indeterminação, mas agora podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos diz que se o limite de f(x)g(x) dá uma forma 00 ou inftyinfty, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador, f(x) = ln(ln(x)):
f'(x) = 1ln(x) cdot 1x = 1x cdot ln(x)
  • Derivada do denominador, g(x) = 1x:
g'(x) = -1x^2
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
limx 0^+ ln(ln(x))1/x = limx 0^+ f'(x)g'(x) = limx 0^+ 1x cdot ln(x)-1x^2 = limx 0^+ -x^2x cdot ln(x) = limx 0^+ -xln(x)

Passo 5

Agora, temos o limite limx 0^+ -xln(x). Novamente, ao substituir x por 0, a expressão tende a 0/(-infty), que é 0. Portanto:
limx 0^+ -xln(x) = 0
Isso significa que:
ln(L) = 0 Rightarrow L = e^0 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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