Um tanque no formato semi-cilíndrico precisa ser preenchido com água. O diâmetro desse tanque é de 4 metros, enquanto seu comprimento é de 10 metros. Determine a vazão volumétrica necessária, em m^3 / min, para que esse tanque seja preenchido em uma hora e velocidade com qual a altura da coluna de água aumenta nesse mesmo período.

Passo 1

Beleza, vamos iniciar resumindo o que precisa ser feito. Temos um tanque que é meio cilindro, com diâmetro de 4 metros e comprimento de 10 metros. A missão é descobrir duas coisas:
  1. Vazão volumétrica necessária em metros cúbicos por minuto (m³/min) para encher o tanque em uma hora.
  2. Velocidade de aumento da altura da água nesse mesmo período.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria para calcular o volume do tanque e depois relacionar isso com o tempo para achar a vazão e a velocidade da água subindo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do tanque. Como o tanque é meio cilindro, o volume é metade do volume de um cilindro completo. A fórmula do volume de um cilindro é:
V = pi r^2 h
Onde:
  • r é o raio
  • h é a altura (ou comprimento, no nosso caso)
Como o diâmetro é 4 metros, o raio r será metade disso:
r = 42 = 2 metros
O comprimento h do tanque é 10 metros.
Agora, calculamos o volume do cilindro completo:
Vcilindro = pi (2)^2 (10) = pi times 4 times 10 = 40pi m^3
Mas como o tanque é meio cilindro, dividimos esse resultado por 2:
Vtanque = 40pi2 = 20pi m^3

Passo 3

Agora que temos o volume total do tanque, vamos calcular a vazão volumétrica necessária para encher esse volume em uma hora. Vazão volumétrica ( Q ) é o volume por unidade de tempo. A fórmula é:
Q = Vt
Onde:
  • V é o volume
  • t é o tempo
Sabemos que:
  • V = 20pi m^3
  • t = 1 hora = 60 minutos
Substituindo na fórmula:
Q = 20pi60 = pi3 m^3/min

Passo 4

Agora, vamos determinar a velocidade com que a altura da água está aumentando. Para isso, precisamos relacionar a vazão volumétrica com a variação da altura.
A vazão volumétrica também pode ser expressa como o produto da área da base pela velocidade com que a altura aumenta ( dhdt ):
Q = A times dhdt
Onde:
  • A é a área da seção transversal do tanque
  • dhdt é a velocidade de aumento da altura
Primeiro, encontramos a área A da base. Como a base é meio círculo, a área é metade da área de um círculo completo:
A = 12 pi r^2 = 12 pi (2)^2 = 2pi m^2
Agora, rearranjamos a fórmula da vazão para encontrar dhdt :
dhdt = QA = pi32pi = 16 m/min

Resposta

A vazão volumétrica necessária é pi3 , m^3/min e a altura da coluna de água aumenta a uma velocidade de 16 , m/min .

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