Um tanque no formato semi-cilíndrico precisa ser preenchido com água. O diâmetro desse tanque é de 4 metros, enquanto seu comprimento é de 10 metros. Determine a vazão volumétrica necessária, em
, para que esse tanque seja preenchido em uma hora e velocidade com qual a altura da coluna de água aumenta nesse mesmo período.
Passo 1
Beleza, vamos iniciar resumindo o que precisa ser feito. Temos um tanque que é meio cilindro, com diâmetro de 4 metros e comprimento de 10 metros. A missão é descobrir duas coisas:
- Vazão volumétrica necessária em metros cúbicos por minuto (m³/min) para encher o tanque em uma hora.
- Velocidade de aumento da altura da água nesse mesmo período.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria para calcular o volume do tanque e depois relacionar isso com o tempo para achar a vazão e a velocidade da água subindo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do tanque. Como o tanque é meio cilindro, o volume é metade do volume de um cilindro completo. A fórmula do volume de um cilindro é:
Onde:
-
é o raio -
é a altura (ou comprimento, no nosso caso)
Como o diâmetro é 4 metros, o raio
será metade disso:
O comprimento
do tanque é 10 metros.
Agora, calculamos o volume do cilindro completo:
Mas como o tanque é meio cilindro, dividimos esse resultado por 2:
Passo 3
Agora que temos o volume total do tanque, vamos calcular a vazão volumétrica necessária para encher esse volume em uma hora. Vazão volumétrica (
) é o volume por unidade de tempo. A fórmula é:
Onde:
-
é o volume -
é o tempo
Sabemos que:
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos determinar a velocidade com que a altura da água está aumentando. Para isso, precisamos relacionar a vazão volumétrica com a variação da altura.
A vazão volumétrica também pode ser expressa como o produto da área da base pela velocidade com que a altura aumenta (
):
Onde:
-
é a área da seção transversal do tanque -
é a velocidade de aumento da altura
Primeiro, encontramos a área
da base. Como a base é meio círculo, a área é metade da área de um círculo completo:
Agora, rearranjamos a fórmula da vazão para encontrar
:
Resposta
A vazão volumétrica necessária é
e a altura da coluna de água aumenta a uma velocidade de
.