Restrinja o domínio e a imagem das funções abaixo para que admitam função inversa. Em seguida, encontre a derivada das funções inversas em um ponto genérico y para, então, aplicar no ponto dado.
f(x)=tg(x),(f^-1)^prime(1)

Passo 1

Então, a gente tem uma função f(x) = tan(x) e precisa fazer algumas coisas:
  1. Restringir o domínio e a imagem dessa função para que ela tenha uma função inversa.
  2. Encontrar a derivada dessa função inversa em um ponto genérico y .
  3. Aplicar essa derivada no ponto específico y = 1 .
Vamos usar conhecimentos de funções inversas e derivadas para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função ter uma inversa, ela precisa ser injeção, ou seja, cada valor de saída corresponde a apenas um valor de entrada. A função tangente tan(x) não é injetora em todo o seu domínio porque ela se repete a cada pi unidades.
Então, para que tan(x) tenha uma inversa, precisamos restringir o domínio para um intervalo onde a função seja estritamente crescente ou decrescente e não se repita. O intervalo comum usado para isso é (-pi2, pi2) .
Domínio restrito: (-pi2, pi2)
Nesse intervalo, a tangente é estritamente crescente e passa de -infty a +infty , então a imagem será todo o conjunto dos números reais R .
Imagem restrita: R

Passo 3

Agora, vamos achar a derivada da função inversa f^-1(y) em um ponto genérico y .
Para isso, usamos a fórmula da derivada da função inversa:
(f^-1)'(y) = 1f'(f^-1(y))
Isso significa que a derivada da inversa em y é o inverso da derivada da função original avaliada em f^-1(y) .

Passo 4

Vamos calcular f'(x) , que é a derivada da função original f(x) = tan(x) .
Sabemos que:
f'(x) = sec^2(x)
Então, substituindo na fórmula da derivada da inversa:
(f^-1)'(y) = 1sec^2(f^-1(y)) = cos^2(f^-1(y))

Passo 5

Agora, precisamos encontrar (f^-1)'(1) .
Primeiro, identificamos que y = 1 , então precisamos achar f^-1(1) , ou seja, o valor de x tal que tan(x) = 1 dentro do domínio restrito (-pi2, pi2) .
Sabemos que tan(pi4) = 1 , então:
f^-1(1) = pi4

Passo 6

Agora, substituímos f^-1(1) = pi4 na expressão da derivada da inversa:
(f^-1)'(1) = cos^2(pi4)
Sabemos que cos(pi4) = raiz22 , então:
(f^-1)'(1) = (raiz22)^2 = 24 = 12

Resposta

A derivada da função inversa f^-1(y) no ponto y = 1 é 12 .

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