Restrinja o domínio e a imagem das funções abaixo para que admitam função inversa. Em seguida, encontre a derivada das funções inversas em um ponto genérico
para, então, aplicar no ponto dado.
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e precisa fazer algumas coisas:
- Restringir o domínio e a imagem dessa função para que ela tenha uma função inversa.
- Encontrar a derivada dessa função inversa em um ponto genérico
. - Aplicar essa derivada no ponto específico
.
Vamos usar conhecimentos de funções inversas e derivadas para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ter uma inversa, ela precisa ser injeção, ou seja, cada valor de saída corresponde a apenas um valor de entrada. A função tangente
não é injetora em todo o seu domínio porque ela se repete a cada
unidades.
Então, para que
tenha uma inversa, precisamos restringir o domínio para um intervalo onde a função seja estritamente crescente ou decrescente e não se repita. O intervalo comum usado para isso é
.
Domínio restrito:
Nesse intervalo, a tangente é estritamente crescente e passa de
a
, então a imagem será todo o conjunto dos números reais
.
Imagem restrita:
Passo 3
Agora, vamos achar a derivada da função inversa
em um ponto genérico
.
Para isso, usamos a fórmula da derivada da função inversa:
Isso significa que a derivada da inversa em
é o inverso da derivada da função original avaliada em
.
Passo 4
Vamos calcular
, que é a derivada da função original
.
Sabemos que:
Então, substituindo na fórmula da derivada da inversa:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
.
Primeiro, identificamos que
, então precisamos achar
, ou seja, o valor de
tal que
dentro do domínio restrito
.
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão da derivada da inversa:
Sabemos que
, então:
Resposta
A derivada da função inversa
no ponto
é
.