Restrinja o domínio e a imagem das funções abaixo para que admitam função inversa. Em seguida, encontre a derivada das funções inversas em um ponto genérico
para, então, aplicar no ponto dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente restringir o domínio e a imagem da função
para que ela tenha uma função inversa. Depois, a gente precisa encontrar a derivada dessa inversa em um ponto genérico
e, por fim, calcular essa derivada no ponto específico
.
Passo 2
Primeiro, para que uma função tenha uma inversa, ela precisa ser injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento na imagem) e sobrejetora (cobre todo o conjunto imagem). A função cosseno não é de fato injetora em todo o seu domínio porque ela é periódica e repete valores. Então, precisamos restringir o domínio de
para que ela seja estritamente crescente ou decrescente.
Passo 3
Sabemos que
é decrescente no intervalo
. Então, vamos ajustar isso para a nossa função
. Queremos que
esteja dentro de
, o que significa que
deve estar em
.
Dominio restrito:
Passo 4
Com o domínio restrito, a imagem também é ajustada. No intervalo
,
varia de
a
, e
varia de
a
.
Imagem restrita:
Passo 5
Agora que temos
restrita e com uma inversa, vamos achar a derivada da função inversa. Sabemos que se
, então
. A derivada da inversa é dada por:
Passo 6
Vamos encontrar
. Derivando
:
Passo 7
Agora, substituímos na fórmula da derivada da inversa:
Passo 8
Queremos a derivada no ponto
. Primeiro, precisamos encontrar
.
Sabemos que:
Resolvendo para
:
Então,
Passo 9
Agora, substituímos
na derivada:
Sabemos que
, então:
Resposta
A derivada da função inversa no ponto
é
.