Restrinja o domínio e a imagem das funções abaixo para que admitam função inversa. Em seguida, encontre a derivada das funções inversas em um ponto genérico y para, então, aplicar no ponto dado.
f(x)=cos (2 x),(f^-1)^prime(12)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente restringir o domínio e a imagem da função f(x) = cos(2x) para que ela tenha uma função inversa. Depois, a gente precisa encontrar a derivada dessa inversa em um ponto genérico y e, por fim, calcular essa derivada no ponto específico y = 12 .

Passo 2

Primeiro, para que uma função tenha uma inversa, ela precisa ser injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento na imagem) e sobrejetora (cobre todo o conjunto imagem). A função cosseno não é de fato injetora em todo o seu domínio porque ela é periódica e repete valores. Então, precisamos restringir o domínio de f(x) = cos(2x) para que ela seja estritamente crescente ou decrescente.

Passo 3

Sabemos que cos(theta) é decrescente no intervalo [0, pi] . Então, vamos ajustar isso para a nossa função f(x) = cos(2x) . Queremos que 2x esteja dentro de [0, pi] , o que significa que x deve estar em [0, pi2] .
Dominio restrito: Df = [0, pi2]

Passo 4

Com o domínio restrito, a imagem também é ajustada. No intervalo [0, pi2] , 2x varia de 0 a pi , e cos(2x) varia de 1 a -1 .
Imagem restrita: Imf = [-1, 1]

Passo 5

Agora que temos f restrita e com uma inversa, vamos achar a derivada da função inversa. Sabemos que se y = f(x) , então x = f^-1(y) . A derivada da inversa é dada por:
(f^-1)'(y) = 1f'(f^-1(y))

Passo 6

Vamos encontrar f'(x) . Derivando f(x) = cos(2x) :
f'(x) = -2sin(2x)

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula da derivada da inversa:
(f^-1)'(y) = 1-2sin(2 cdot f^-1(y))

Passo 8

Queremos a derivada no ponto y = 12 . Primeiro, precisamos encontrar f^-1(12) .
Sabemos que:
cos(2x) = 12
Resolvendo para x :
2x = arccos(12) Rightarrow 2x = pi3 Rightarrow x = pi6
Então,
f^-1(12) = pi6

Passo 9

Agora, substituímos x = pi6 na derivada:
(f^-1)'(12) = 1-2sin(2 cdot pi6) = 1-2sin(pi3)
Sabemos que sin(pi3) = raiz32 , então:
(f^-1)'(12) = 1-2 cdot raiz32 = 1-raiz3 = -raiz33

Resposta

A derivada da função inversa no ponto y = 12 é (f^-1)'(12) = -raiz33 .

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