lim n +infty(n^22 n-1-n^22 n+1)

Passo 1

Vamos resolver o limite lim n +infty(n^22 n-1-n^22 n+1). Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais, ou seja, funções que são frações envolvendo polinômios. Para resolver, precisamos entender como os termos com maior grau de n se comportam quando n fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Para isso, encontramos um denominador comum para as duas frações:
n^22n - 1 - n^22n + 1 = n^2 ( 12n - 1 - 12n + 1 )

Passo 3

Agora, subtraímos as duas frações dentro do parêntese. Para isso, usamos a propriedade de subtração de frações:
12n - 1 - 12n + 1 = (2n + 1) - (2n - 1)(2n - 1)(2n + 1) = 2(2n - 1)(2n + 1)

Passo 4

Substituímos de volta na expressão original:
n^2 ( 2(2n - 1)(2n + 1) ) = 2n^2(2n - 1)(2n + 1)

Passo 5

Agora, simplificamos o denominador multiplicando as expressões:
(2n - 1)(2n + 1) = 4n^2 - 1
Então, temos:
2n^24n^2 - 1

Passo 6

Dividimos numerador e denominador por n^2 para facilitar o limite:
24 - 1n^2

Passo 7

Agora, aplicamos o limite quando n tende a +infty. Sabemos que 1n^2 tende a 0:
24 - 0 = 24 = 12

Resposta

lim n +infty(n^22 n-1-n^22 n+1) = 12

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