Encontre o limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{2}\right)}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin\bigl(x^{2}\bigr)}{x}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites, em particular a famosa propriedade
\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Definimos a substituição u=x^{2}. Quando x\to0, segue que u\to0. Podemos então reescrever a expressão como
\frac{\sin\bigl(x^{2}\bigr)}{x} =\frac{\sin(u)}{u}\,\frac{u}{x} =\frac{\sin(u)}{u}\,\frac{x^{2}}{x} =\frac{\sin(u)}{u}\,x.

Passo 3

Aplicando o limite, temos
\lim_{x\to0}\frac{\sin\bigl(x^{2}\bigr)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{\sin(u)}{u}\;\cdot\;\lim_{x\to0}x =1\cdot0 =0.

Resposta

0

Exercícios relacionados