Encontre o limite. Use a regra de LHôpital quando for apropriado e justifique sua resposta.
(1,0 ponto ) lim x pi^--(x-pi2) sec x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxtopi2^-l(x-tfracpi2r)sec x. O conteúdo aqui é limites que levam à forma indeterminada 0timesinfty e vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Quando xtopi2^-, temos
x-tfracpi2to 0 e sec x=tfrac1cos xto+infty (porque cos xto0^+). Logo é o tipo indeterminado 0timesinfty.

Passo 3

Para usar L’Hôpital, reescrevemos o produto como quociente:
(x-tfracpi2)sec x = x-tfracpi2cos x
Agora temos o tipo tfrac00, que permite aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
  • Derivada de x-tfracpi2 é 1.
  • Derivada de cos x é -sin x.
    Portanto,
limxtopi2^-x-tfracpi2cos x = limxtopi2^-1-sin x

Passo 5

Agora basta avaliar em x=tfracpi2: sin(tfracpi2)=1, então
1-sin(tfracpi2) = -1
Esse é o valor do limite.

Resposta

-1

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