Questão 2: (2,5 pontos) Encontre a solução geral do sistema linear homogêneo
\mathbf{X}^{\prime}=\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\\\ 2 & 1 \end{array}\right] \mathbf{X}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo
\mathbf{X}' = A\,\mathbf{X},
com
A = \begin{pmatrix}1 & -2\\[6pt]2 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é a resolução por autovalores complexos: calcular o polinômio característico de A, encontrar os autovalores \lambda (que vão ser complexos), obter um autovetor complexo e, a partir dele, extrair duas soluções reais independentes para montar a solução geral.]

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & -2\\[3pt]2 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)^2 - (-2)\cdot2 = (1-\lambda)^2+4.
Igualando a zero,
(1-\lambda)^2 + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 1 \pm 2\,\mathrm{i}.]

Passo 3

Escolhemos \lambda = 1+2\,\mathrm{i} e resolvemos (A-(1+2\mathrm{i})I)\,v=0.
Isso dá
\begin{pmatrix} 1-(1+2\mathrm{i}) & -2\\[3pt] 2 & 1-(1+2\mathrm{i}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\[3pt]v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\mathrm{i} & -2\\[3pt]2 & -2\mathrm{i}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\[3pt]v_2\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha segue -2\mathrm{i}\,v_1-2\,v_2=0, ou seja v_2=-\mathrm{i}\,v_1.
Tomando v_1=1, ficamos com o autovetor
v = \begin{pmatrix}1\\[3pt]-\mathrm{i}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Uma solução complexa é
\mathbf{X}_c(t) = e^{(1+2\mathrm{i})t}\, \begin{pmatrix}1\\[3pt]-\mathrm{i}\end{pmatrix} = e^t\,e^{2\mathrm{i}t} \begin{pmatrix}1\\[3pt]-\mathrm{i}\end{pmatrix}.
Escrevendo e^{2\mathrm{i}t}=\cos(2t)+\mathrm{i}\sin(2t) e separando parte real e imaginária, obtemos duas soluções reais independentes:
\mathbf{X}_1(t) = \Re(\mathbf{X}_c(t)) = e^t \begin{pmatrix} \cos(2t)\\[3pt] \sin(2t) \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{X}_2(t) = \Im(\mathbf{X}_c(t)) = e^t \begin{pmatrix} \sin(2t)\\[3pt] -\,\cos(2t) \end{pmatrix}.]

Passo 5

A solução geral do sistema é a combinação linear dessas duas soluções reais:
\mathbf{X}(t) = C_1\,\mathbf{X}_1(t) + C_2\,\mathbf{X}_2(t),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Resposta

\mathbf{X}(t) = C_1\,e^t \begin{pmatrix} \cos(2t)\\[3pt] \sin(2t) \end{pmatrix} + C_2\,e^t \begin{pmatrix} \sin(2t)\\[3pt] -\,\cos(2t) \end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes reais.]

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