Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
(ou seja, ). - O ponto de aproximação é
. - Não existe figura ou tabela; só a expressão algébrica é necessária.
Passo 2
Verificamos o tipo de indeterminação ao substituir
:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Logo temos a forma indeterminada. Isso indica que a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as condições da regra sejam satisfeitas), ou podemos tentar um método mais elementar usando limites conhecidos.
Passo 3
Vou aplicar a Regra de L’Hôpital. Primeiro, lembro a ideia da regra (de forma didática):
- Se
e (ou ambos ), e e são diferenciáveis num intervalo em volta de (exceto possivelmente em ), então
desde que o limite à direita exista (ou seja
).
Aqui e
satisfazem as hipóteses (são diferenciáveis perto de
e produzem
), então podemos derivar numerador e denominador.
Aqui
Passo 4
Calculamos as derivadas:
-
. (Regra da cadeia: derivada de é , com e .) -
.
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Passo 5
Agora avaliamos o limite da expressão derivada diretamente em
, sem indeterminação:
Portanto, pela Regra de L’Hôpital, o limite original vale
.
Passo 6
Como alternativa (método mais elementar) — útil para prova sem L’Hôpital — podemos usar limites padrão e manipulação algébrica. Reescrevemos a expressão assim:
Agora usamos dois limites conhecidos:
-
. Tomando , obtemos .
(Esse limite é equivalente à derivada deem .) -
, portanto .
Multiplicando os limites:
Esse caminho evita derivadas explícitas e usa limites fundamentais (muito prático em prova).
Passo 7
Breve comentário pedagógico: ambas as abordagens são válidas. A Regra de L’Hôpital é direta e rápida quando há indeterminação
. O método elementar é preferível quando se quer evitar L’Hôpital, dependendo do que a prova exige — além disso, o método elementar reforça o uso dos limites padrão
e
, que são ferramentas básicas e muito úteis.
Resposta
2