Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{e^{2 t}-1}{\operatorname{sen} t}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{t\to 0}\frac{e^{2t}-1}{\operatorname{sen} t}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é \;e^{2t}-1\;.
  • O denominador é \;\operatorname{sen} t\; (ou seja, \sin t).
  • O ponto de aproximação é t\to 0.
  • Não existe figura ou tabela; só a expressão algébrica é necessária.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação ao substituir t=0:
  • Numerador: e^{2\cdot 0}-1 = e^{0}-1 = 1-1 = 0.
  • Denominador: \operatorname{sen}0 = 0.
    Logo temos a forma indeterminada 0/0. Isso indica que a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as condições da regra sejam satisfeitas), ou podemos tentar um método mais elementar usando limites conhecidos.

Passo 3

Vou aplicar a Regra de L’Hôpital. Primeiro, lembro a ideia da regra (de forma didática):
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e f e g são diferenciáveis num intervalo em volta de a (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty).
Aqui f(t)=e^{2t}-1 e g(t)=\sin t satisfazem as hipóteses (são diferenciáveis perto de 0 e produzem 0/0), então podemos derivar numerador e denominador.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
  • f'(t)=\dfrac{d}{dt}\big(e^{2t}-1\big)=2e^{2t}. (Regra da cadeia: derivada de e^{u} é e^{u}u', com u=2t e u'=2.)
  • g'(t)=\dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.
    Aplicando a Regra de L’Hôpital:
\lim_{t\to 0}\frac{e^{2t}-1}{\sin t} =\lim_{t\to 0}\frac{2e^{2t}}{\cos t}.

Passo 5

Agora avaliamos o limite da expressão derivada diretamente em t=0, sem indeterminação:
\lim_{t\to 0}\frac{2e^{2t}}{\cos t}=\frac{2e^{0}}{\cos 0}=\frac{2\cdot 1}{1}=2.
Portanto, pela Regra de L’Hôpital, o limite original vale 2.

Passo 6

Como alternativa (método mais elementar) — útil para prova sem L’Hôpital — podemos usar limites padrão e manipulação algébrica. Reescrevemos a expressão assim:
\frac{e^{2t}-1}{\sin t} =\frac{e^{2t}-1}{2t}\cdot\frac{2t}{\sin t}.
Agora usamos dois limites conhecidos:
  1. \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1. Tomando u=2t, obtemos \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{e^{2t}-1}{2t}=1.
    (Esse limite é equivalente à derivada de e^{x} em 0.)
  2. \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, portanto \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{2t}{\sin t}=2\cdot\lim_{t\to 0}\frac{t}{\sin t}=2.
    Multiplicando os limites:
\lim_{t\to 0}\frac{e^{2t}-1}{\sin t} =\left(\lim_{t\to 0}\frac{e^{2t}-1}{2t}\right)\cdot\left(\lim_{t\to 0}\frac{2t}{\sin t}\right)=1\cdot 2=2.
Esse caminho evita derivadas explícitas e usa limites fundamentais (muito prático em prova).

Passo 7

Breve comentário pedagógico: ambas as abordagens são válidas. A Regra de L’Hôpital é direta e rápida quando há indeterminação 0/0. O método elementar é preferível quando se quer evitar L’Hôpital, dependendo do que a prova exige — além disso, o método elementar reforça o uso dos limites padrão \lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1 e \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, que são ferramentas básicas e muito úteis.

Resposta

2

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