Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que já está dado. O problema é calcular o limite
O que nos pedem: encontrar o valor numérico desse limite quando
tende a
.
Informações relevantes do enunciado:
- O numerador é
, que tende a quando . - O denominador é
, isto é, o arco-tangente de , que também tende a quando . - Portanto a expressão tem forma indeterminada
, o que indica que a Regra de L’Hôspital pode ser aplicável — mas antes de aplicá-la é preciso verificar as condições da regra.
Passo 2
Vou explicar rapidamente a Regra de L’Hôspital e checar as condições para usá-la neste caso.
Enunciado prático da Regra de L’Hôspital (versão para a forma
): se
e
são funções diferenciáveis em um intervalo aberto contendo
(exceto possivelmente em
mesmo), com
e
próximo de
, e se o limite
existe (ou é
), então
No nosso caso podemos tomar
e
.
-
e são diferenciáveis em torno de . -
e . - Logo temos a forma
e as hipóteses para aplicar a regra estão satisfeitas.
Passo 3
Aplicando a Regra de L’Hôspital: cálculo das derivadas de numerador e denominador.
A derivada do numerador é simples:
Para o denominador usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
. Com
temos
Pela regra de L’Hôspital,
Passo 4
Calculo final do limite após derivar:
Portanto pelo método de L’Hôspital o limite é
.
Passo 5
Vou mostrar também um método mais elementar (sem derivar), que é útil para entender o comportamento: usar uma substituição e o limite padrão
.
Faça
. Quando
também
e
Sabe-se (ou pode-se ver usando a derivada de
em
ou o desenvolvimento em série) que
logo
e daí o limite desejado é
. Isso é análogo ao famoso
.
Passo 6
Resumo interpretativo e incentivo: tanto pelo caminho de L’Hôspital quanto pelo argumento com substituição e o limite padrão da função arco-tangente, obtemos o mesmo resultado. Esse tipo de limite é comum em prova: identificar a forma indeterminada, verificar hipóteses da regra de L’Hôspital ou usar limites padrões como
quando
. Vai dar certo na prova — respira e confia!