Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\operatorname{tg}^{-1}(4 x)}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que já está dado. O problema é calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{tg}^{-1}(4x)}.
O que nos pedem: encontrar o valor numérico desse limite quando x tende a 0.
Informações relevantes do enunciado:
  • O numerador é x, que tende a 0 quando x\to 0.
  • O denominador é \operatorname{tg}^{-1}(4x), isto é, o arco-tangente de 4x, que também tende a 0 quando x\to 0.
  • Portanto a expressão tem forma indeterminada \tfrac{0}{0}, o que indica que a Regra de L’Hôspital pode ser aplicável — mas antes de aplicá-la é preciso verificar as condições da regra.

Passo 2

Vou explicar rapidamente a Regra de L’Hôspital e checar as condições para usá-la neste caso.
Enunciado prático da Regra de L’Hôspital (versão para a forma \tfrac{0}{0}): se f e g são funções diferenciáveis em um intervalo aberto contendo a (exceto possivelmente em a mesmo), com f(a)=g(a)=0 e g'(x)\neq 0 próximo de a, e se o limite \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
No nosso caso podemos tomar f(x)=x e g(x)=\operatorname{tg}^{-1}(4x).
  • f e g são diferenciáveis em torno de 0.
  • f(0)=0 e g(0)=\operatorname{tg}^{-1}(0)=0.
  • Logo temos a forma \tfrac{0}{0} e as hipóteses para aplicar a regra estão satisfeitas.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôspital: cálculo das derivadas de numerador e denominador.
A derivada do numerador é simples:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x)=1.
Para o denominador usamos a regra da cadeia: a derivada de \operatorname{tg}^{-1}(u) em relação a u é \dfrac{1}{1+u^{2}}. Com u=4x temos
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg}^{-1}(4x)\big)=\frac{1}{1+(4x)^{2}}\cdot\frac{d}{dx}(4x)=\frac{1}{1+16x^{2}}\cdot 4=\frac{4}{1+16x^{2}}.
Pela regra de L’Hôspital,
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{tg}^{-1}(4x)} =\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to 0}\frac{1}{\dfrac{4}{1+16x^{2}}}.

Passo 4

Calculo final do limite após derivar:
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\dfrac{4}{1+16x^{2}}} =\lim_{x\to 0}\frac{1+16x^{2}}{4} =\frac{1+16\cdot 0^{2}}{4}=\frac{1}{4}.
Portanto pelo método de L’Hôspital o limite é \dfrac{1}{4}.

Passo 5

Vou mostrar também um método mais elementar (sem derivar), que é útil para entender o comportamento: usar uma substituição e o limite padrão \lim_{u\to 0}\dfrac{\operatorname{tg}^{-1}(u)}{u}=1.
Faça u=4x. Quando x\to 0 também u\to 0 e
\frac{x}{\operatorname{tg}^{-1}(4x)}=\frac{u/4}{\operatorname{tg}^{-1}(u)}=\frac{1}{4}\cdot\frac{u}{\operatorname{tg}^{-1}(u)}.
Sabe-se (ou pode-se ver usando a derivada de \operatorname{tg}^{-1} em 0 ou o desenvolvimento em série) que
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{tg}^{-1}(u)}{u}=1,
logo
\lim_{u\to 0}\frac{u}{\operatorname{tg}^{-1}(u)}=1,
e daí o limite desejado é \tfrac{1}{4}. Isso é análogo ao famoso \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1.

Passo 6

Resumo interpretativo e incentivo: tanto pelo caminho de L’Hôspital quanto pelo argumento com substituição e o limite padrão da função arco-tangente, obtemos o mesmo resultado. Esse tipo de limite é comum em prova: identificar a forma indeterminada, verificar hipóteses da regra de L’Hôspital ou usar limites padrões como \operatorname{tg}^{-1}(u)\sim u quando u\to 0. Vai dar certo na prova — respira e confia!

Resposta

\dfrac{1}{4}

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