Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(\ln x)^{2}}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende para infinito:
\lim_{x\to\infty} \frac{(\ln x)^{2}}{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável é x>0 e estamos estudando o comportamento quando x\to\infty.
  • O numerador é (\ln x)^{2}. À medida que x\to\infty, \ln x\to\infty, então o numerador cresce para infinito.
  • O denominador é x, que também tende a infinito quando x\to\infty.
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada \infty/\infty.

Passo 2

Vou usar a Regra de L’Hospital porque ela é apropriada para formas indeterminadas do tipo \infty/\infty.
Lembrete (fórmula da Regra de L’Hospital, em palavras): se
\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty
e f e g são diferenciáveis perto de a (exceto possivelmente em a), e g'(x)\neq 0 próximo de a, então, se existir,
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui a=\infty. As condições se aplicam: f(x)=(\ln x)^2 e g(x)=x são diferenciáveis para x>0 e, como vimos, ambos tendem a \infty quando x\to\infty. Então podemos aplicar a regra.

Passo 3

Calcular as derivadas que a Regra de L’Hospital pede.
Derivada do numerador f(x)=(\ln x)^2:
f'(x)=2\ln x\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=2\ln x\cdot\frac{1}{x}=\frac{2\ln x}{x}.
Derivada do denominador g(x)=x:
g'(x)=1.
Pela Regra de L’Hospital,
\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^2}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{2\ln x}{x}=2\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}.

Passo 4

Analisar o limite \lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x}. Novamente temos a forma indeterminada \infty/\infty, então podemos aplicar L’Hospital outra vez.
Derivada do numerador \ln x é \dfrac{1}{x}.
Derivada do denominador x é 1.
Pela Regra de L’Hospital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Voltando ao passo anterior,
\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^2}{x}=2\cdot 0=0.

Passo 5

Para fixar a intuição (método alternativo e interpretação): faça a substituição t=\ln x. Então x=e^{t} e x\to\infty corresponde a t\to\infty. A expressão fica
\frac{(\ln x)^2}{x}=\frac{t^{2}}{e^{t}}.
É um fato padrão que exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios; isto é, \lim_{t\to\infty}\dfrac{t^{2}}{e^{t}}=0. Podemos justificar esse último limite aplicando L’Hospital duas vezes: derivando t^{2} obtém-se 2t, depois 2, enquanto derivando e^{t} obtém-se sempre e^{t}; ao final aparece uma expressão que tende a 0. Isso confirma a resposta anterior e dá a intuição: x cresce muito mais rápido que (\ln x)^{2}.

Resposta

0

Exercícios relacionados