Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende para infinito:
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável é
e estamos estudando o comportamento quando . - O numerador é
. À medida que , , então o numerador cresce para infinito. - O denominador é
, que também tende a infinito quando . - Portanto a expressão tem a forma indeterminada
.
Passo 2
Vou usar a Regra de L’Hospital porque ela é apropriada para formas indeterminadas do tipo
.
Lembrete (fórmula da Regra de L’Hospital, em palavras): se
e
e
são diferenciáveis perto de
(exceto possivelmente em
), e
próximo de
, então, se existir,
Aqui
. As condições se aplicam:
e
são diferenciáveis para
e, como vimos, ambos tendem a
quando
. Então podemos aplicar a regra.
Passo 3
Calcular as derivadas que a Regra de L’Hospital pede.
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Pela Regra de L’Hospital,
Passo 4
Analisar o limite
. Novamente temos a forma indeterminada
, então podemos aplicar L’Hospital outra vez.
Derivada do numerador
é
.
Derivada do denominador é
.
Derivada do denominador
Pela Regra de L’Hospital,
Voltando ao passo anterior,
Passo 5
Para fixar a intuição (método alternativo e interpretação): faça a substituição
. Então
e
corresponde a
. A expressão fica
É um fato padrão que exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios; isto é,
. Podemos justificar esse último limite aplicando L’Hospital duas vezes: derivando
obtém-se
, depois
, enquanto derivando
obtém-se sempre
; ao final aparece uma expressão que tende a
. Isso confirma a resposta anterior e dá a intuição:
cresce muito mais rápido que
.
Resposta
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