Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
onde
é um parâmetro (um número real). Não foram dadas outras restrições sobre
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão do numerador é
. - O denominador é
. - O ponto de interesse é
.
O objetivo é obter o valor desse limite em função de.
Passo 2
Verificar o tipo de indeterminação avaliando numerador e denominador em
.
Calcular o numerador em :
Calcular o numerador em
Calcular o denominador em
:
Portanto temos a forma indeterminada
quando
. Isso indica que métodos como a Regra de L’Hôpital ou uma expansão em série (Taylor) podem ser usados.
Passo 3
Lembrete sobre a Regra de L’Hôpital (versão para
): se
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
),
e existir o limite
então
desde que o limite do quociente das derivadas exista (ou seja
). Aqui
e
. Como estamos analisando
, podemos escolher uma vizinhança de
suficientemente pequena tal que
(por exemplo
), e assim a função
é diferenciável nessa vizinhança para todo
. Logo as hipóteses locais para aplicar L’Hôpital estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicar a Regra de L’Hôpital pela primeira vez. Calcular as derivadas:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Então, pela Regra de L’Hôpital,
Avaliar a nova forma em
: o numerador tende a
e o denominador tende a
. Temos novamente a indeterminação
, então aplicamos L’Hôpital mais uma vez.
Passo 5
Aplicar L’Hôpital pela segunda vez. Calcular as derivadas de novo:
- Derivada do numerador (segunda derivada original):
- Derivada do denominador (segunda derivada original):
Pela Regra de L’Hôpital,
Como
é contínua em
, podemos substituir
diretamente:
Passo 6
Comentário alternativo (método mais elementar via expansão de Taylor): a função
tem derivadas em
:
A expansão de Taylor até a ordem
ao redor de
dá
Substituindo essa expansão no numerador:
Fazendo as contas, os termos constantes e os termos lineares em
cancelam, sobrando
Dividindo por
e passando ao limite, obtemos novamente
. Esse caminho é equivalente ao uso de L’Hôpital duas vezes, mas às vezes é mais direto se se conhece a expansão de Taylor.
Passo 7
Observações finais e hipóteses: para aplicar as operações acima foi usado que
é diferenciável numa vizinhança de
, o que vale tomando uma vizinhança com
. Assim, para qualquer
o cálculo está justificado para o limite
. Se alguém estivesse tentando aproximar
por valores negativos muito próximos de
(o que não acontece), haveria atenção ao domínio de
para
não inteiro; porém, como
é positivo, existe sempre uma vizinhança de
contida em
, então não há problema.