Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{a}-a x+a-1}{(x-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{a}-a x+a-1}{(x-1)^{2}},
onde a é um parâmetro (um número real). Não foram dadas outras restrições sobre a.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão do numerador é x^{a}-a x+a-1.
  • O denominador é (x-1)^{2}.
  • O ponto de interesse é x\to 1.
    O objetivo é obter o valor desse limite em função de a.

Passo 2

Verificar o tipo de indeterminação avaliando numerador e denominador em x=1.
Calcular o numerador em x=1:
1^{a}-a\cdot 1 + a - 1 = 1 - a + a - 1 = 0.
Calcular o denominador em x=1:
(1-1)^{2}=0.
Portanto temos a forma indeterminada 0/0 quando x\to 1. Isso indica que métodos como a Regra de L’Hôpital ou uma expansão em série (Taylor) podem ser usados.

Passo 3

Lembrete sobre a Regra de L’Hôpital (versão para 0/0): se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de c (exceto possivelmente em c), f\text{(c)}=g\text{(c)}=0 e existir o limite
\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}
então
\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite do quociente das derivadas exista (ou seja \pm\infty). Aqui f(x)=x^{a}-a x+a-1 e g(x)=(x-1)^{2}. Como estamos analisando x\to 1, podemos escolher uma vizinhança de 1 suficientemente pequena tal que x>0 (por exemplo |x-1|<1/2), e assim a função x\mapsto x^{a} é diferenciável nessa vizinhança para todo a\in\mathbb{R}. Logo as hipóteses locais para aplicar L’Hôpital estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicar a Regra de L’Hôpital pela primeira vez. Calcular as derivadas:
  • Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{a}-a x+a-1\bigr)=a x^{a-1}-a = a\bigl(x^{a-1}-1\bigr).
  • Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\bigl((x-1)^{2}\bigr)=2(x-1).
Então, pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 1}\frac{x^{a}-a x+a-1}{(x-1)^{2}} = \lim_{x\to 1}\frac{a\bigl(x^{a-1}-1\bigr)}{2(x-1)}.
Avaliar a nova forma em x=1: o numerador tende a a(1^{a-1}-1)=a(1-1)=0 e o denominador tende a 2(1-1)=0. Temos novamente a indeterminação 0/0, então aplicamos L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Aplicar L’Hôpital pela segunda vez. Calcular as derivadas de novo:
  • Derivada do numerador (segunda derivada original):
\frac{d}{dx}\bigl(a(x^{a-1}-1)\bigr)=a(a-1)x^{a-2}.
  • Derivada do denominador (segunda derivada original):
\frac{d}{dx}\bigl(2(x-1)\bigr)=2.
Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 1}\frac{a\bigl(x^{a-1}-1\bigr)}{2(x-1)} = \lim_{x\to 1}\frac{a(a-1)x^{a-2}}{2}.
Como x^{a-2} é contínua em x=1, podemos substituir x=1 diretamente:
\lim_{x\to 1}\frac{a(a-1)x^{a-2}}{2}=\frac{a(a-1)\,1^{a-2}}{2}=\frac{a(a-1)}{2}.

Passo 6

Comentário alternativo (método mais elementar via expansão de Taylor): a função f(x)=x^{a} tem derivadas em x=1:
f(1)=1,\qquad f'(x)=a x^{a-1}\Rightarrow f'(1)=a,\qquad f''(x)=a(a-1)x^{a-2}\Rightarrow f''(1)=a(a-1).
A expansão de Taylor até a ordem 2 ao redor de x=1
x^{a}=1+a(x-1)+\frac{a(a-1)}{2}(x-1)^{2}+o\bigl((x-1)^{2}\bigr).
Substituindo essa expansão no numerador:
x^{a}-a x+a-1=\Bigl[1+a(x-1)+\frac{a(a-1)}{2}(x-1)^{2}+o((x-1)^{2})\Bigr]-a x+a-1.
Fazendo as contas, os termos constantes e os termos lineares em (x-1) cancelam, sobrando
\frac{a(a-1)}{2}(x-1)^{2}+o((x-1)^{2}).
Dividindo por (x-1)^{2} e passando ao limite, obtemos novamente \dfrac{a(a-1)}{2}. Esse caminho é equivalente ao uso de L’Hôpital duas vezes, mas às vezes é mais direto se se conhece a expansão de Taylor.

Passo 7

Observações finais e hipóteses: para aplicar as operações acima foi usado que x^{a} é diferenciável numa vizinhança de 1, o que vale tomando uma vizinhança com x>0. Assim, para qualquer a\in\mathbb{R} o cálculo está justificado para o limite x\to 1. Se alguém estivesse tentando aproximar x por valores negativos muito próximos de 1 (o que não acontece), haveria atenção ao domínio de x^{a} para a não inteiro; porém, como 1 é positivo, existe sempre uma vizinhança de 1 contida em (0,\infty), então não há problema.

Resposta

\dfrac{a(a-1)}{2}

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