Exercício 3 Estime por cima e por baixo as seguintes integrais (sem calculá-las):
\quad \int_{3}^{6}(4 x-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para estimar por baixo e por cima a integral
\int_{3}^{6}(4x-1)\,dx
sem calculá-la exatamente. Vamos usar o fato de que, se numa função contínua f em [a,b] vale
m \le f(x) \le M
para todo x\in[a,b], então
m\,(b-a)\le \int_{a}^{b}f(x)\,dx \le M\,(b-a).

Passo 2

Note que f(x)=4x-1 é crescente em [3,6]. Logo,
f(3)=4\cdot 3-1=11,
f(6)=4\cdot 6-1=23.
Portanto, para todo x\in[3,6] temos
11 \le 4x-1 \le 23.

Passo 3

Integramos a desigualdade termo a termo de x=3 até x=6:
\int_{3}^{6}11\,dx \le \int_{3}^{6}(4x-1)\,dx \le \int_{3}^{6}23\,dx.
Como \int_{3}^{6}11\,dx = 11\,(6-3) e \int_{3}^{6}23\,dx = 23\,(6-3), segue que

Passo 4

11\cdot(6-3)\le \int_{3}^{6}(4x-1)\,dx \le 23\cdot(6-3)
33 \le \int_{3}^{6}(4x-1)\,dx \le 69.

Resposta

33 \le \int_{3}^{6}(4x-1)\,dx \le 69.

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