Encontre a primitiva e justifique.
\int x^{2} e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função f(x)=x^{2}e^{x}, ou seja, calcular
\int x^{2}e^{x}\,dx.
O conteúdo principal que vamos usar é a técnica de integração por partes, baseada na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos na primeira aplicação de integração por partes:
u = x^{2}, \quad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = 2x\,dx, \quad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Pela fórmula,
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \int e^{x}\cdot(2x)\,dx = x^{2}e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx.

Passo 3

Para resolver \displaystyle \int x e^{x}\,dx, aplicamos integração por partes de novo, escolhendo
u = x, \quad dv = e^{x}\,dx,
logo
du = dx, \quad v = e^{x}.
Isso dá
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}.
Multiplicando por 2,
2\int x e^{x}\,dx = 2\bigl(x e^{x} - e^{x}\bigr) = 2x e^{x} - 2e^{x}.

Passo 4

Substituindo esse resultado em \displaystyle \int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx, obtemos
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \bigl(2x e^{x} - 2e^{x}\bigr) = x^{2}e^{x} - 2x e^{x} + 2e^{x}.
Fatorando e^{x},
\int x^{2}e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr) + C.

Resposta

\int x^{2}e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr) + C.

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